Número de unidades en el anillo de matrices

Question

Quiero saber sobre el número de unidades en el anillo de todas las matrices de orden $n\times n$ sobre el campo de orden $p$, donde $p$ es un número primo.

Leí en uno de mis libros que el orden de $\mathit{GL}(n,\mathbb Z_p)$ es $(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\dots (p^n-p^{n-1})$. Creo que este es el número requerido de unidades en el grupo $M_n(\mathbb Z_p)$. Pero no puedo deducirlo.

También tengo una pregunta, ¿cuál será el resultado si $p$ no es primo, es decir, compuesto? Espero recibir ayuda. Gracias.

Editar: Mi pregunta para el módulo primo $p$ ya ha sido discutida aquí.

Por lo tanto, me gustaría saber sobre el caso cuando el módulo es compuesto.

Answer 1

La invertibilidad de las matrices de $n\times n$ sobre $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ es equivalente a verificar que el determinante de la matriz sea coprimo con $m$. Tenga en cuenta que el determinante se puede calcular como si las entradas fueran enteros, y luego reducirlo módulo $m$, ya que el determinante es un polinomio en las entradas de la matriz.

Esto conduce a un análisis bastante simple a través del teorema chino del resto cuando $m$ es un producto de primos distintos. Vea, por ejemplo, la pregunta anterior sobre el conteo donde $m=26$. Como Jyrki Lahtonen detalla en los comentarios de esa pregunta, cualquier combinación de la matriz invertible $A$ módulo $2$ y la matriz invertible $B$ módulo $13$ se pueden combinar mediante CRT para dar una matriz invertible $C$ módulo $26$. Por lo tanto, el conteo de matrices invertibles módulo $m=pq$ donde $p, q$ son primos distintos es el producto de los conteos para matrices invertibles módulo $p$ y módulo $q.

De hecho, esta reducción funciona para cualquier factorización de $m$ en factores que sean coprimos (no necesariamente factores primos), siempre que sepamos cómo contar las matrices invertibles módulo esos factores coprimos por separado. Nuevamente, el teorema chino del resto nos permite unir pares de matrices invertibles en los módulos de los factores coprimos.

Por lo tanto, la parte difícil del conteo para módulos generales se refiere al caso de factores primos repetidos, es decir, para $m = p^k$. Una breve nota de aula (sobre Cifrados Lineales) que brinda límites superiores e inferiores sobre el conteo es El número de matrices invertibles en un Anillo de Clases de Restos por K. Pommerening.

Las fórmulas para el conteo exacto de las matrices invertibles (con módulos compuestos) se desarrollan en Sobre el Espacio de Claves del Cifrado Hill por Overbey, Traves y Wojdylo (2005).

Según las observaciones anteriores, basta con dar la fórmula (Thm. 2.2.2) para un módulo de potencia prima, con cambios menores en la notación para mantener la consistencia:

$$ \text{Cuando } m=p^k,\;\; |\mathit{GL}(n,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})| = p^{(k-1)n^2} \prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i) .$$

Aquí $\mathit{GL}(n,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ es el grupo lineal general de matrices invertibles de $n\times n$ con entradas en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Por lo tanto, el orden de ese grupo (multiplicativo) de matrices es precisamente el conteo de matrices invertibles en discusión.

Tenga en cuenta que cuando $k=1$, la fórmula anterior se simplifica inmediatamente al caso ya establecido para un módulo primo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.