¿Cómo probamos $|\cos x-\cos y|\le|x-y|$ % todo $x,y\in\mathbb{R}$?

Question

Mi pensamiento:

Corregir cualquier punto $y_0\in\mathbb{R}$, ya que sabemos $\cos' x=-\sin x$ y $|-\sin|\le1$, así $|\cos' x|=\lim_{x\to y_0}\frac{|\cos x-\cos y_0|}{|x-y_0|}=...\le 1$. Creo que mi problema es cómo traducir $\lim_{x\to y_0}\frac{|\cos x-\cos y_0|}{|x-y_0|}$ $\frac{\cos x-\cos y}{x-y}$. ¿Alguien podría dar una idea?

Answer 1

Sugerencia Estás en el camino correcto. Si en cambio escribes las relaciones derivadas en términos de integrales, se obtiene la $$|\cos x - \cos y| = \left\vert\int_x^y \sin x \,dx \right\vert \leq \cdots .$ $

$$\cdots \leq \left\vert\int_x^y |\sin x| \,dx\right\vert .$$

Answer 2

Deje $x, y \in \mathbb{R}$ ser arbitraria, y sin pérdida de generalidad, supongamos $y < x$.

La función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $f(t) = \cos(t)$ es continua y diferenciable en a $\mathbb{R}$, por lo que obviamente es continua en a $[y, x]$ y diferenciable en a $(y, x)$.

Por el Valor medio Teorema, existe un punto de $c \in (y, x)$ tal que $$f^{\prime}(c) = -\sin(c) = \dfrac{\cos(x)-\cos(y)}{x-y}\text{.}$$ Sin embargo, recordando que $|-\sin(w)| = |\sin(w)| \leq 1$ todos los $w \in \mathbb{R}$, se deduce que $$\left|\dfrac{\cos(x)-\cos(y)}{x-y}\right| \leq 1$$ por lo tanto $$|\cos(x)-\cos(y)| \leq |x-y|$$ y la demanda sigue desde $x$ $y$ fueron arbitrariamente elegido.

Si $y > x$, casi idéntico argumento de la anterior conduce a la misma conclusión.

Si $y = x$, la igualdad tiene (desde $|\cos(x)-\cos(y)| = |x-y| = 0$).

Answer 3

sugerencia

$$|\cos (x)-\cos (y)|=$$ $$2|\sin (\frac {x+y}{2})\sin (\frac {x-y}{2})|$$

y $$|\sin (a)|\le |a|$ $

Answer 4

Sugerencias:

$$|\cos x-\cos y|=|\sin \xi| \cdot |x-y||\le|x-y|$$

Answer 5

Probaremos esto todos $0<x,\ y <\frac{\pi}{2}$

Si $\pi :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\ \pi (a,b)=a$, entonces $$ | \pi (P)-\pi (Q) | \leq | P Q | $$

If $$P=(\cos\ x,\sin\ x),\ Q=(\cos\ y,\sin\ y),$$ then $$ |x-y| \geq | P-Q | \geq | \pi (P)-\pi (Q) | $$