Si tenemos números reales $x, y, z \in [1, 2]$ entonces cuál es el máximo de
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+xz+yz}$$
Intenté usar la sustitución $x=\frac{3+\sin X}{2}$ , $y=\frac{3+\sin Y}{2}$ y $z=\frac{3+\sin Z}{2}$ . Pero la expresión se volvió demasiado confusa. Se trata de un problema de la Olimpiada (desconozco la fuente) y no se me permite utilizar el cálculo. Espero que alguien me pueda dar una respuesta a este problema.
Buena idea, pero ¿no es la convexidad de $f$ dependiendo de la definición positiva de la matriz $$\begin{pmatrix}1 & -k/2 & -k/2 \\ -k/2 & 1 & -k/2 \\ -k/2 & -k/2 & 1 \end{pmatrix}$$ ? Eso pone algunas restricciones a $k$ para que su enfoque funcione.
@Jack D'Aurizio Yo no digo eso $f$ es una función convexa. Yo digo que $f$ es una función convexa de $x$ de $y$ y de $z$ . Que dice que $f$ obtiene un valor máximo para un valor extremo de $x$ de $y$ y de $z$ lo que ocurre para $\{x,y,z\}=\{1,2\}$ .
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¿Por qué esa sustitución? De todos modos, el máximo parece ocurrir cuando dos de las variables son $1$ y el otro es $2$ . La expresión sugiere que probablemente haya una "simetría" que podría aprovecharse, pero no me salta nada a la vista. ¿Se te permite usar el cálculo?
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He utilizado una sustitución similar para problemas más sencillos y a veces ha funcionado. Pero no para esto. No, es un problema de la Olimpiada. ¡No se me permite usar el cálculo!
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Por favor, actualice la pregunta para dejar claro que el uso del cálculo NO está permitido
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Creo que debe ser $$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\le \frac{6}{5}$$
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¿Cómo lo conseguiste?
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@Dedaha, probablemente con WolframAlpha. Él es conocido por usarlo, y yo lo usé y obtuve lo mismo.
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Si consigues demostrar que $f(x,y,z)=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+xz+yz}$ es (punto medio) convexo, entonces su máximo sobre el cubo $[1,2]^3$ se alcanza con seguridad en un vértice. Entonces es sencillo comprender que vértice.
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No estoy seguro de si esto ayuda, pero me di cuenta de que $(x+y)^2 + (x+z)^2 + (y+z)^2 = 2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz)$