¿Cuando la categoría de Kleisli es equivalente al Eilenberg-Moore?

Question

Sabemos que, para cualquier mónada $T$, el Kleisli categoría $\mathcal{C}_T$ incrusta en el Eilenberg-Moore categoría de $T$-álgebras $\mathcal{C}^T$ cuando la totalidad de la subcategoría de libre $T$-álgebras. En el caso de la mónada para espacios vectoriales, por ejemplo, esta inclusión es en realidad parte de una equivalencia de categorías.

Existen buenos categórica condiciones en $T$, $\mathcal{C}_T$ o $\mathcal{C}^T$ que es suficiente para concluir que el pleno de la incrustación de $\mathcal{C}_T \hookrightarrow \mathcal{C}^T$ es esencialmente surjective, yo.e que todos los $T$-álgebras son esencialmente libre?

Answer 1

Creo que Beck monadicity teorema proporciona una respuesta, se da condiciones suficientes para que un functor $G: D \to C$ 'monádico' (es decir, tiene una izquierda adjoint $F$ tal que $D$ es el espacio de la $GF$-álgebras).

La aplicación de este teorema para los desmemoriados functor $U : C_T \to C$ de la Kleisli, muy pocas condiciones son extremadamente satisfecho, lo que resulta en la siguiente condición necesaria y suficiente para la incrustación $C_T \hookrightarrow C^T$ a ser esencialmente surjective

$C_T$ ha coequalizers de $U$-split paralelo pares y $U$ conserva los coequalizers

Esta condición es muy técnico, pero si entiendo los términos correctamente un par de $f,g : A \to B$ tiene una división de co-ecualizador si existe una flecha $h : B \to C$ de manera tal que los siguientes desplazamientos

$$ Un \mathop{\rightrightarrows}^{f}_g B \mathop{\rightarrow}^h C $$ y hay una sección de $s$ $h$ y una sección de $t$ $f$ tal que $g \circ t = s \circ h$.

Un par de $f$, $g$ se llama $U$-split si lo anterior es cierto de $Uf$$Ug$.