Deje $d(m),d_1(m),d_0(m)$ el número de divisores impares, los divisores, incluso divisores de $m$. Tenemos:
$$ F=\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{3n}}-\ldots\right)=\sum_{m\geq 1}\frac{d_1(m)-d_0(m)}{2^m}=2\sum_{m\geq 1}\frac{d_1(m)}{2^m}-E $$
$$ E = \sum_{m\geq 1}\frac{d(m)}{2^m} $$
En el otro lado:
$$\begin{eqnarray*}f=\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\frac{2^{n+1}}{(2^n-1)(2^n+1)}&=&\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{2^n-1}+\frac{1}{2^n+1}\right)\\&=&2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{3n}}+\frac{1}{2^{5n}}+\ldots\right)\\&=&2\sum_{m\geq 1}\frac{1}{2^m}\sum_{\substack{d\mid m \\ d\text{ odd}}}(-1)^{\frac{m}{d}+1}\\&=&2\sum_{\substack{m\geq 1\\m\text{ odd}}}\frac{d(m)}{2^m}-2\sum_{\substack{m\geq 1\\m\text{ even}}}\frac{d_1(m)}{2^m}\\&=&4\sum_{\substack{m\geq 1\\m\text{ odd}}}\frac{d(m)}{2^m}-2\sum_{m\geq 1}\frac{d_1(m)}{2^{m}}\end{eqnarray*} $$
y
$$ E+F=2\sum_{m\geq 1}\frac{d_1(m)}{2^m}=2\sum_{\substack{m\geq 1\\m\text{ odd}}}d(m)\left(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{2m}}+\frac{1}{2^{4m}}+\frac{1}{2^{8m}}+\ldots\right) $$
así
$$ f=\sum_{\substack{m\geq 1 \\ m\text{ odd}}}d(m)\left(\frac{2}{2^m}-\frac{2}{2^{2m}}-\frac{2}{2^{4m}}-\frac{2}{2^{8m}}-\frac{2}{2^{16m}}-\ldots\right) $$
$$ E=\sum_{\substack{m\geq 1 \\ m\text{ odd}}}d(m)\left(\frac{1}{2^m}+\frac{2}{2^{2m}}+\frac{3}{2^{4m}}+\frac{4}{2^{8m}}+\frac{5}{2^{16m}}+\ldots\right) $$
$$ F=\sum_{\substack{m\geq 1 \\ m\text{ odd}}}d(m)\left(\frac{2}{2^m}+\frac{0}{2^{2m}}-\frac{1}{2^{4m}}-\frac{2}{2^{8m}}-\frac{3}{2^{16m}}+\ldots\right) $$
y yo no veo ninguna manera de escribir $f$ en términos de $E$ $F$ sólo, sin la participación de $\sum_{\substack{m\geq 1\\m\text{ odd}}}\frac{d(m)}{2^m}$.
En cualquier caso, la evaluación numérica de tales (Lambert) de la serie es bastante simple: una técnica de aceleración se describe aquí.
