Los tensores en el contexto de la mecánica de la ingeniería: ¿pueden explicarse de forma intuitiva?

Question

Llevo varias semanas buscando en Internet una explicación de los tensores en el contexto de la mecánica de la ingeniería. Ya sabes, los que todos los estudiantes de ingeniería conocen y adoran (tensión, deformación, etc.). Pero no puedo encontrar ninguna explicación de los tensores sin toparme con formalismos abstractos como "homomorfismos" y "espacios de producto interno". No estoy buscando una explicación de los tensores utilizando álgebra abstracta o espacios vectoriales infinitos y generalizados. Sólo quiero que se me aclare lo que realmente significan y hacen en el bonito espacio euclidiano de 3D, especialmente en el contexto de la mecánica. Hay algunas preguntas que me han estado molestando y que espero que todos ustedes, gente inteligente, puedan responder:

1. ¿Cuál es la diferencia entre una transformación lineal y un tensor? De alguna manera, ambas pueden ser representadas por un $3\times 3$ matriz, pero hacen cosas diferentes cuando actúan sobre un vector? Como las columnas de una $3 \times 3$ ¿la matriz de una transformación lineal te dice dónde acaban los vectores base, pero las mismas columnas de un tensor no representan vectores base en absoluto?

2. Además, una transformación lineal transforma todo el espacio pero un tensor se define en cada punto del espacio? ¿Actúa un tensor sobre los vectores del mismo modo que las transformaciones lineales?

3. ¿Cuál es la diferencia entre un producto tensorial, un producto diádico y un producto externo, y por qué los tensores de ingeniería, como la tensión de Cauchy, se construyen a partir del producto tensorial de dos vectores (es decir, el vector de tracción y el vector normal)?

4. ¿Es cierto que los escalares y los vectores son sólo $0^\mathrm{th}$ orden y $1^\mathrm{st}$ ¿tensores de orden, respectivamente? ¿Cómo se relacionan todas estas cosas entre sí?

5. ¿Qué temas y/o subtemas del álgebra lineal son esenciales para comprender la esencia de los tensores en el contexto de la física y la ingeniería? ¿Son realmente objetos que actúan sobre vectores para producir otros vectores (o números) o son algo más?

Tengo muchas más preguntas, pero me imagino que las respuestas a estas ya podrían ser suficientes para llenar un libro de texto entero. Sólo para notar, ya he buscado en Math.StackExchange para los tensores pero no he encontrado ninguna explicación que tenga sentido para mí todavía.

Gracias.

Answer 1

Aunque es un tema un poco largo, intentaré dar la información matemática exacta en una introducción lo más corta posible. Empecemos directamente con ....

DEFINICIÓN DE TENSOR --- A ( $p$ , $q$ )-tensor $T$ (con p y q enteros) es una transformación multilineal $$T:\underbrace{V^*\times V^*\times\dots V^*}_{p\text{ times}}\times\underbrace{V\times V\times\dots V}_{q\text{ times}}\to\mathbb R$$ donde $V$ es un espacio vectorial, $V^*$ es su espacio vectorial dual y $\mathbb R$ es el conjunto de los números reales. El número entero $p+q$ es el rango del tensor.

Ejemplo, Un tensor (1,1) es una transformación multilineal, $T:V^*\times V\to \mathbb R$ . Utilizando la misma información podemos construir un objeto $T:V\to V$ como se muestra más adelante. Lo reconocemos como una simple trasnformación lineal de vectores, representada por una matriz. Por tanto, una matriz es un tensor (1,1).

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¿Qué significa eso? Significa que un Tensor toma p covectores y q vectores y los convierte multilinealmente en un número real. Lo principal que hay que entender aquí es la diferencia entre un vector (miembro de un espacio vectorial) y un covector (miembro del espacio vectorial dual). Si ya lo sabe, puede saltarse esta sección. Un vector se define como un miembro de un espacio vectorial que a su vez se define como un conjunto con una suma y una multiplicación escalar siguiendo ciertos axiomas.* Un covector se define de la siguiente manera:

Definición (espacio dual) El conjunto de todas las transformaciones lineales $\boldsymbol\omega:V\to\mathbb R$ se denomina espacio vectorial dual y se denota por $V^*$ . Los miembros del espacio vectorial dual se denominan covectores.

Teorema (sin prueba) El dual de un espacio dual de un espacio vectorial dimensional finito $V$ es $V$ es decir, $$(V^*)^*=V$$

Solemos denotar los vectores por $\boldsymbol v$ y los covectores por $\boldsymbol \omega$ . También por convención, los vectores tienen índices hacia arriba y los covectores hacia abajo. (Los índices representan coordenadas)

$$\boldsymbol{v}=v^i\boldsymbol e_i, \quad\boldsymbol\omega=\omega_i \boldsymbol \epsilon^i$$ Aquí $e^i$ son los vectores base. Siempre que veas un índice arriba y el mismo índice abajo tienes que sumar sobre ese índice, como en las ecuaciones anteriores, ( $\boldsymbol v = \sum_i v^i \boldsymbol e_i$ ).

Observa que un covector es un tensor (0,1) y un número real es un tensor (0,0). Esto se deduce fácilmente de la definición. Podemos demostrar que un vector es un tensor (1,0), utilizando el teorema mencionado anteriormente, aunque no es muy obvio.

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¿Cómo representar los tensores en una base? Digamos que queremos representar un tensor (1,2) en una base determinada. Lo aplicamos a una entrada arbitraria: $$T(\boldsymbol \omega, \boldsymbol v, \boldsymbol w)=T(\omega_a \boldsymbol\epsilon^a,v^b\boldsymbol e_b,w^c\boldsymbol e_c)=\omega_a v^b w^c T(\boldsymbol\epsilon^a,\boldsymbol e_b,\boldsymbol e_c)$$

Aquí los objetos $T(\boldsymbol\epsilon^a,\boldsymbol e_b,\boldsymbol e_c)$ son simplemente números reales y pueden ser etiquetados como $T^a_{bc}$ . Por lo tanto, un tensor puede ser representado por un conjunto de $(\dim V)^{p+q}$ números. Un tensor T de tipo (p,q) y rango (p+q) tiene p índices arriba y q índices abajo.

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Teorema En la definición mencionada anteriormente podemos transferir $V$ o $V^*$ al otro lado quitando o añadiendo un $*$ a V.

Consideremos un tensor (1,1). Es un objeto $T^a_b$ que toma un vector y un covector y lo convierte en un número real, así: $$T:V^*\times V\to\mathbb R$$ $$T^a_b \omega_a v^b = r, \,\, r\in\mathbb R.$$ Sin embargo, el mismo objeto puede ser utilizado así: $$T^a_bv^b = w^a,$$ aquí ha convertido un vector en otro, $$T:V\to V.$$

Una matriz puede hacer las mismas cosas, sólo hay que pensar que vector fila = covector, vector columna = vector, y matriz (NxN) = Tensor. Entonces: covector * Matriz * vector = número real, mientras que Matriz * vector = vector. Las entradas de la matriz son precisamente los números $T^a_b$ .

Por lo tanto, una matriz es simplemente un tensor (1,1). Sin embargo, la notación de las matrices nos obliga a utilizarla de algunas formas particulares, como que se puede hacer covector * Matriz * vector pero no Matriz * vector * covector.

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Notas a pie de página:

*Los axiomas son CANI ADDU - Para la adición: Conmutatividad, Asociatividad, Existe elemento neutro (vector 0), Existen elementos inversos. Para la multiplicación escalar y la suma: Asociatividad, dos Distributividades, Elemento unitario (1*v=v)

Tenga en cuenta que esto es sólo una introducción matemática a este tema. No he respondido a todas sus preguntas, pero esto es un intento de hacer las cosas precisa para que no te enteres de nada malo y probablemente ahora seas capaz de responder a esas preguntas por ti mismo.

Answer 2

Intentaré responder sólo a una parte de sus preguntas.

Un rango $k$ tensor covariante en $\Bbb R^3$ o simplemente $k$ -es una función multilineal $T:(\Bbb R^3)^k\to\Bbb R$ Es decir $T(v_1,...,cu_i+v_i,...,v_k)=c(T(v_1,...,u_i,...,v_k))+T(v_1,...,v_i,...,v_k)$ para cada $i=1,...,k$ . El conjunto de todos los $k$ -forman un espacio vectorial con adición y multiplicación escalar definidas como $(T_1+T_2)(x):=T_1(x)+T_2(x)$ y $(cT_1)(x):=c(T_1(x))$ . Se sabe que este espacio vectorial tiene dimensión $3^k$ .

Cuando $k=2$ la dimensión de este espacio vectorial es igual a la dimensión del espacio de todos los $3\times 3$ matrices, por lo que podemos representar un $2$ -tensor por un $3\times 3$ matriz. Aunque se represente como una matriz, no significa que pueda actuar sobre un vector. No todos los tensores tienen que poder actuar sobre un vector. Depende mucho del tipo de tensor. Más adelante explicaré el "tipo de tensor".

Un rango $k$ El tensor contravariante es una función multilineal $T:((\Bbb R^3)^*)^k\to\Bbb R$ . Si sabes que el doble dual de un espacio vectorial finito es canónicamente isomorfo al espacio original, entonces debes saber que un rango $1$ El tensor contravariante puede ser representado por un vector habitual en $\Bbb R^3$ .

Un tipo $(p,q)$ tensor (o $(q,p)$ Esto depende de la elección del autor, pero nos ceñimos a $(p,q)$ aquí) es una función multilineal $T:((\Bbb R^3)^*)^p\times(\Bbb R^3)^q\to\Bbb R$ .

Cada transformación lineal de $\Bbb R^3$ a sí mismo puede ser considerado como un tipo $(1,1)$ tensor. La razón es que para un $3\times 3$ matriz M que representa una transformación lineal, definimos una función bilineal $T_M:(\Bbb R^3)^*\times\Bbb R^3\to\Bbb R$ por $T_M(f,v):=f(Mv)$ . Esto establece una conexión entre las transformaciones lineales y el tipo $(1,1)$ tensores. Este tipo de tensor puede actuar sobre un vector, pero otros no necesariamente.

Un tipo $(1,0)$ es simplemente un vector, mientras que un tipo $(0,0)$ tensor, según Wikipedia es simplemente un escalar, y un tipo $(0,1)$ tensor es simplemente un funcional lineal. No estoy seguro de por qué el segundo es el caso, muy probablemente una convención. Como ves, el tipo $(1,0)$ no puede actuar realmente sobre un vector, pero el tipo $(0,1)$ puede. De hecho, todo tipo $(p,1)$ puede actuar sobre un vector para dar un $(p,0)$ tensor, es decir, un rango $p$ tensor contravariante.

Cuando ves que un tensor está definido en cualquier lugar del espacio, en realidad no es un tensor, sino que es un campo tensorial, que es una función que asigna a cada punto un tensor.

Como en Wikipedia no hay diferencia entre el producto tensorial, el producto diádico y el producto externo.

Answer 3

Estas son buenas preguntas. Intentaré reducir las matemáticas al mínimo, a continuación.

La pregunta número cero: ¿por qué necesitamos tensores?

Muchas cosas en ingeniería y física pueden representarse mediante una función (que no es más que un número, o una magnitud) que toma un valor diferente en distintos puntos del espacio: pensemos en la presión en distintos puntos de una habitación. Muchas otras cosas pueden representarse mediante una magnitud y una dirección: pensemos en el campo eléctrico en distintos puntos de una habitación. A algunos las cosas están mejor representadas por una cantidad que implica una magnitud y dos direcciones. El primer lote de cosas está representado por un campo escalar, el segundo por un campo vectorial y el tercero por tensores (de rango 2). No se me ocurre ninguna magnitud física que esté modelada por tensores de rango 3.

La presión del aire en una habitación es un escalar, $p$ (estamos pensando en esto como un campo, por lo que hay una dependencia implícita de la posición, $p(\mathbf r)$ ). Si quieres saber la presión en un punto concreto, tu respuesta es: "es $p$ '. Simple.

Ahora piensa en la fuerza electrostática $\mathbf F$ en una partícula cargada, que se mueve a través de un desplazamiento $\mathbf s$ (recuerda $\mathbf F$ es un campo por lo que toma un valor diferente en diferentes puntos). ¿Cuánto trabajo se realiza durante este desplazamiento? Para responder a esto, piensa en $\mathbf F$ como función que toma el desplazamiento como argumento: el trabajo realizado es $\mathbf F(\mathbf s)$ . Es una forma larga de dar la respuesta que sin duda ibas a dar, es decir, el producto interior de los dos vectores $\mathbf F\cdot\mathbf s$ .

Ahora piensa en el tensor de tensión $\sigma$ . Dada una superficie dentro del cuerpo con normalidad $\mathbf n$ y una dirección de referencia unitaria $\mathbf e$ la magnitud de la tensión en la dirección $\mathbf e$ Cuando se trata de una superficie $\mathbf n$ es $\sigma(\mathbf n,\mathbf e)$ - un número. Si posponemos el pensamiento sobre la dirección de referencia $\mathbf e$ y sólo aplicar uno de los dos argumentos, obtenemos $\sigma(\mathbf n, \cdot)$ . Eso es algo que está esperando un único argumento vectorial más: puede que estés más acostumbrado a pensar en eso como el vector de tensión , $\mathbf T^{(n)}$ el número $\sigma(\mathbf n,\mathbf e_x)$ es sólo $\mathbf T^{(n)}(\mathbf e_x) = \mathbf T^{(n)}\cdot\mathbf e_x = T^{(n)}_x$ (Puede que haya confundido ligeramente la definición de $\sigma$ arriba; eso no es importante).

La versión corta:

• Un tensor de rango 0 es un escalar: es un campo con cero argumentos vectoriales.
• Un tensor de rango 1 es un vector: es un campo con un argumento vectorial, y la forma en que ese campo actúa sobre su argumento es lo que estamos más acostumbrados a llamar producto interior.
• Un tensor de rango 2 es lo que comúnmente se llama simplemente "un tensor"; tiene dos argumentos vectoriales. Si se le da un solo argumento, entonces queda una cosa que tiene un solo argumento vectorial restante, como $\mathbf T^{(n)} = \sigma(\mathbf n,\cdot)$ .

Lo anterior es cierto para el espacio plano euclidiano, es decir, el espacio de nuestra experiencia ordinaria. Si quieres manejar estas ideas matemáticas "adecuadamente", o en coordenadas Impares, o en espacios no planos (por ejemplo, la relatividad general), entonces tienes que preocuparte por los vectores frente a los covectores, las métricas, los productos internos, las contracciones, y observar un par de distinciones más que he glosado aquí, pero las intuiciones básicas son las anteriores.

Así que, volviendo a tus preguntas...

1. ¿Cuál es la diferencia entre una transformación lineal y un tensor?

Son muy diferentes, pero desgraciadamente mira muy similares, porque ambos están representados por una matriz de números.

Si pide el componentes de un vector, la respuesta es un conjunto de números $\mathbf n=(n_x,n_y,n_z)$ (tres de ellos, en 3D) con respecto a un conjunto particular de ejes de coordenadas . Si cambias de opinión sobre los ejes, entonces el mismo vector $\mathbf n$ tendrá diferentes componentes $\mathbf n=(n_x',n_y',n_z')$ que son sistemáticamente relacionados a $(n_x,n_y,n_z)$ por la matriz de transformación lineal de cambio de base.

Exactamente de forma análoga, si preguntas por los componentes de un tensor (de rango 2), entonces la respuesta es un $3\times3$ matriz de números, de nuevo con respecto a un conjunto particular de ejes. Si cambias de opinión sobre los ejes, los componentes son una matriz diferente de números, de nuevo relacionados sistemáticamente con el conjunto original a través de (dos aplicaciones de) la matriz de transformación.

2. ¿Actúa un tensor sobre los vectores del mismo modo que las transformaciones lineales?

Ver 1: no, un tensor es una cosa muy diferente de una matriz de transformación lineal.

Pero también vea el punto cero: usted puede utilizar un tensor (de rango 2) para convertir un vector en otro. Por ejemplo, $\mathbf T^{(n)}=\sigma(\mathbf n,\cdot)$ relaciona efectivamente el vector $\mathbf n$ y el vector $\mathbf T^{(n)}$ .

3. ¿Cuál es la diferencia entre un producto tensorial, un producto diádico y un producto externo, y por qué los tensores de ingeniería, como la tensión de Cauchy, se construyen a partir del producto tensorial de dos vectores (es decir, el vector de tracción y el vector normal)?

El producto tensor/externo/diádico (¡no había oído el último nombre antes!) son nombres diferentes para la misma cosa (supongo que un matemático pondría pegas a esto en toda su generalidad, pero no nos preocupemos por ellos).

El producto exterior es un manera de hacer un tensor de rango 2 a partir de un par de tensores de rango 1 (es decir, vectores). Cualquier tensor puede escribirse como una suma de productos externos.

4. ¿Es cierto que los escalares y los vectores son sólo tensores de orden 0 y de orden 1, respectivamente?

Sí.

5. ¿Qué temas y/o subtemas del álgebra lineal son esenciales para comprender la esencia de los tensores en el contexto de la física y la ingeniería?

Si vas a estudiar álgebra lineal en cualquier contexto matemático, los tensores van a estar al principio de todo. En un contexto más aplicado, si tienes una idea clara de la relación entre un vector, un conjunto de vectores base, y los componentes del vector con respecto a esa base, entonces estás en un buen comienzo.

En mi experiencia con los estudiantes, la idea de que "un tensor (de rango 2) modela una cantidad física que depende de dos direcciones" es un poco un momento "aha".

Answer 4

Los vectores necesitan un subíndice. $V_x, V_y, V_z$ son todos los componentes del vector $V$ . Los tensores pueden tener más de uno. $V_{xy}$ es un ejemplo de componente de un rango $2$ tensor. Por ejemplo, la tensión de una cara puede tener una representación tensorial, $V_{xy}$ puede representar el esfuerzo cortante en el $x$ cara en el $y$ dirección.

Cada componente vectorial tiene una base vectorial unitaria, cada componente tensorial tiene múltiples bases vectoriales unitarias. A partir de esto se puede ver por qué un vector es en realidad un rango $1$ tensor, una matriz es un rango $2$ tensor, etc.

Answer 5

Prefacio: Como antiguo estudiante de Física y alguien que intenta reaprender las Matemáticas Aplicadas, admito que mi noción de los tensores es, en el mejor de los casos, inestable, ya que aún no he estado expuesto a un texto que haya dado una definición decente de "tensor". Pero en mi exposición hasta ahora a los tensores, tengo una ligera noción intuitiva de lo que son (reforzada por Wikipedia). No puedo responder a todas tus preguntas, pero tal vez pueda ayudar con mi explicación chapucera a dar un mejor sentido e invito a cualquier otra persona con cualquier crítica constructiva a comentar, ya que me gustaría estar en un terreno más firme con este mismo....

1) Creo que una transformación lineal puede considerarse un "subconjunto" de un tensor en cierto modo. Por lo que he encontrado, los tensores pueden representar transformaciones lineales, pero no están restringidos a ser transformaciones lineales sólo para vectores en escenarios físicos. Por lo que sé, las transformaciones lineales son un caso específico (mapear un espacio vectorial a otro) de mapear simplemente objetos matemáticos en un espacio a otro (lo que hacen los tensores en el caso general). Para ponerlo en términos más físicos, algo como el tensor de rotación mapea un punto en un sistema de coordenadas a un nuevo punto en un sistema de coordenadas diferente que puede haber resultado a través de múltiples transformaciones.

2) No tengo el suficiente manejo como para hacer una puñalada en este caso.

3) Igual que el 2

4) Según la bibliografía que he leído, esto es así. La relación proviene de que los tensores necesitan varios grados para designar un solo componente del tensor completo. Fíjate que los vectores suelen designarse con un solo índice. Dejemos que $\beta = \{v_1 , v_2, ... , v_n\}$ sea una base para algún espacio vectorial V (puede ayudar pensar que es la base del espacio cartesiano de n-ésima dimensión ${\Re}^n$ . Dado que cualquier vector en V es una combinación lineal de los vectores de la base, sólo se necesita un índice para especificar las constantes que corresponden a los elementos de la base para v (es decir $v = {x_i}{v_i}$ donde se utiliza aquí la notación de suma de Einstein con el índice i que va de 1 a n). Sin embargo, en el caso de los tensores, para especificar un componente de un tensor, se necesita más de un índice para llegar a ese componente. Aquí vemos de nuevo el aspecto de la "generalización".

5) Para ser sincero, no estoy seguro. Me he topado con los tensores muy pocas veces en mi estudio de la Física (por favor, ten en cuenta que todavía no he llegado a una clase avanzada de EM, o de introducción a la Mecánica Cuántica).

Espero que eso ayude un poco. Si hay algo raro en alguna de mis explicaciones, dímelo y haré lo posible por aclararlo.