Pregunta del límite - L ' Hopital ' s regla ' t parece funcionar

Question

He estado recientemente tratando de solucionar este problema de límite. En primer lugar, he utilizado la regla de L'Hopital pero no parece que trabajar (porque pensé que este límite es de la forma $\frac{\infty}{\infty}$). ¿Estoy haciéndolo correctamente? Parece que no entiendo donde equivoco.

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+\sin^3(x)}{5x+6}\right)$$

Una sugerencia sería mucho apreció.

Answer 1

ps

Answer 2

Regla de l ' hospital no está funcionando puesto que la derivada del numerador de la función no es determinable cuando $x \to \infty$, debido al comportamiento oscilatorio de la función de $\sin$ y $\cos$. Por lo tanto, usted tiene que acercarse tradicionalmente.

Answer 3

Podemos exprimir $(x+\sin^3x)/(5x+6)$ entre dos aplicaciones de l'Hopital: cuando $5x+6>0$ tenemos $$\frac {x-1}{5x+6}\leq \frac {x+\sin^3x}{5x+6}\leq \frac {x+1}{5x+6}.$$ Applying l'Hopital to the far left and far right of the above line, we see they both have limits of $1/5$ as $x\to \infty.$ So the expression in the middle must also go to $1/5$.

Por supuesto podríamos también re-escribir lejos L & R lejos como $\frac {1}{5}(1- \frac {11}{5x+6})$ y $\frac {1}{5}(1-\frac {1}{5x+6})$ y no necesita l'Hopital.

Answer 4

Una de las condiciones de aplicación de L'Hospital de la Regla es que el $f'(x)/g'(x)$ debe existir. $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Después de una aplicación de L'Hospitals, en la que llegó a un número finito de numerador sobre un número finito de denominador. Pero mientras que el numerador era finito, no era convergente, y por lo que el límite no existe. Como la mucho más simple $\sin(x)$ no convergen a un único valor cuando x tiende a infinito -- oscila entre +/-1. $$\lim\limits_{x \to \infty} {\sin(x)}$$

Así que todos los de L'Hospital de la pre-condiciones que deben existir para que usted lo utilice. Como otros han mencionado, este límite podría ser más fácil de resolver mediante el uso de la apretando teorema. El numerador del valor es comprimido entre el$x+1$$x-1$. Tanto de los límites de ir a $1/5$.

Answer 5

Para algunos límites L'Hospital regla no parece funcionar, como lo que escribes $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+\sin^3(x)}{5x+6}\right)\\\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x+\cos(x)}{x+6\sin(2x)}\right)\\\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(\frac{\tan x}{\tan (3x)}\right)\\\lim_{x \to 0} \left(\frac{\cot (2x)}{x^2+\cot x}\right)\\\vdots$ $ pero (todo lo que veo) tienen solución alternativa, o cambia algo que se puede utilizar la regla de L'Hospital. $$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+\sin^3(x)}{5x+6}\right)=\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x(1+\frac{\sin^3(x)}{x})}{x(5+\frac6x)}\right)=\\\lim_{x \to \infty} \left(\frac{(1+\frac{\sin^3(x)}{x})}{(5+\frac6x)}\right)=\frac15$$ for $\\\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left (\frac {\tan x} {\tan (3 x)} \right) $ tenemos $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(\frac{\tan x}{\tan (3x)}\right)=\\\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(\frac{\frac{1}{\cot x}}{\frac{1}{\cot 3x}}\right)=\\\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(\frac{\cot 3x}{\cot x}\right)$ $ ahora puedes utilizar la regla de L'Hospital

Creo que cuando tienes una función trig $\to \infty $ regla de L'Hospital no es conveniente