Encuentra la matriz de rotación de + 15 ° fuera de la matriz de rotación 60 ° sin usar funciones trigonométricas

Question

Encuentra la matriz de rotación de + 15 ° fuera de la matriz de rotación 60 ° sin usar funciones trigonométricas. Y tanto como me encantaria decirle lo que hice hasta ahora. Ni siquiera sé dónde comenzar con este ejercicio...

Es la matriz de + 60 °. $$ \left [ \begin{matrix} 1/2 & -\sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & 1/2 \\ \end{matriz} \right] $$

¿Cómo incluso empiezo?

Answer 1

Hay una mucho más simple manera de hacer esto, suponiendo que esté permitido el uso de la transformación que se refleja a través de la línea de $y = x$ (trivialmente obtenidos, no trigonométricas de los participantes) y la línea de $y = -x$.

Vamos a ser exactos. La reflexión matrices a través de $y = x$, que se denota por a $R_+$, y a través de las $y = -x$, que se denota por a $R_-$, están dadas por $$R_+ =\left(\begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{de la matriz}\right) \qquad \qquad R_- =\left(\begin{matrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \\ \end{de la matriz}\right)$$ Pero, a continuación, $R_+$ que se aplica a la primera columna de los 60 grados de rotación da la primera columna de los 15 grados de rotación, y $R_-$ que se aplica a la segunda columna de los 60 grados de rotación da la segunda columna de los 15 grados de rotación.

Por lo que se puede hacer con muy poco de matemáticas, no desafiante multiplicación, y lo mejor de todo, sin raíces de las matrices. Admito que cuando vi por primera vez, yo sólo pensaba en la manera en que Ross escribió.

Answer 2

¿Tiene las siguientes funciones trigonométricas de uso? (La matriz de rotación por $60^\circ$ ciertamente hace).

Siga la rotación por $60^\circ$ por una rotación a través de $-45^\circ$, la matriz para que se escribe fácilmente. Por lo que estamos multiplicando la matriz dada por otro fácilmente escrito matriz.

Supongo que dado el contexto es que este enfoque es el previsto, ya que es una operación de matriz simple.

Answer 3

Lo único que veo es a tomar la raíz cuarta de la matriz, es decir, encontrar una matriz de #% de $2 \times 2$% #%, tal que $A ^ 4 = \left(\begin{matrix} 1/2 & -\sqrt 3/2\\ \sqrt 3/2 & 1/2 \\ \end{matrix}\right)$A$\left(\begin{matrix} a & -b\\ b & a \\ \end{matrix}\right) $. If you expect that it is of the form $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1$, deben pasar a través.

Añadido: Si se toma primero una raíz cuadrada, obtener $ with $, que $a^2-b^2=1/2, -2ab=\sqrt{3}/2$ (tomando la raíz positiva). Esto dará la matriz de $b^2=\frac{3}{16a^2}, a^2-\frac{3}{16a^2}=\frac{1}{2}, a=\frac{\sqrt{3}}{2}, b=\frac{1}{2}$ $ $A^2=\left(\begin{matrix} \sqrt 3/2 & -1/2\\ 1/2 & \sqrt 3/2 \\ \end{matrix}\right).

Ahora el mismo enfoque da $30^{\circ}$ y usted puede conseguir una cuadrática en $a^2-b^2=\sqrt 3/2, -2ab=1/2$ otra vez.

Answer 4

O puede usar dos veces las fórmulas del ángulo mitad: http://oakroadsystems.com/twt/double.htm#SineHalf

O tal vez más fácil (evitar raíces cuadradas), para utilizar la suma del ángulo con $60^o$ y $-45^o$

Answer 5

Ya que la idea es bastante diferente, esto no es agregado a mi respuesta anterior. Puede haber una conexión con la idea de mixedmath. La motivación era en realidad Ross Millikan boceto de un cálculo de la raíz cuarta de una matriz de rotación.

Supongamos que estamos explícitamente dada una matriz de rotación, donde por simplicidad, el ángulo de rotación $\theta$ entre $0$$\pi$. Queremos encontrar la matriz de rotación $\theta/2$, $\theta/4$, o, más generalmente,$\theta/2^k$.

Calcular lo que la rotación no a $(1,0)$. Dicen que el resultado es $(a,b)$.

Encontrar la suma de $(1,0)+(a,b)=(1+a,b)$. Dividir por la norma. Esto nos dice dónde está el punto (1,0) es tomada por la rotación a través de $\theta/2$. Ahora podemos escribir inmediatamente abajo de la correspondiente matriz de rotación.

Para la rotación a través de $\theta/4$, repetir. Para la rotación a través de $\theta/2^n$, repita más a menudo.

Podemos pensar en este proceso como el uso de la mitad de ángulo fórmulas para$\sin$$\cos$. Que ciertamente no es la manera en que yo llegué a él, la idea era completamente primitivas geométricas. Prefiero pensar en el medio ángulo fórmulas como las consecuencias de la sobre-proceso descrito.