¿Inconsistencia en un Z-transforme de una ecuación de Euler?

Question

En esta tesis, p. 27, la siguiente ecuación de Euler se da, ver (4.9): $$ u_{i+1,j}=\frac{h_t}{2h_x^2}\left[\left(\frac{2h_x^2}{h_t}+2a_1h_x^2-4a_2\right)u_{i,j}+(2a_2-a_3h_x)u_{i,j-1}+(2a_2+a_3h_x)u_{i,j+1}+2b_1h_x^2\right] $$

Aquí, $i$ representa el tiempo y el $j$ representa el (1d) de espacio. Por otra parte, $h_t$ $h_x$ son los tamaños de paso con respecto al tiempo y el espacio, respectivamente. $a_1,a_2$ $b_1$ son constantes.

Luego, en ambos lados, el z-tranformation (con respecto al tiempo) se aplica, en donde $$ \mathcal{Z}(u_{i+1,j})=:U_j,~\mathcal{Z}(u_{i,j})=z^{-1}U_j,~\mathcal{Z}(u_{i,j-1})=z^{-1}U_{j-1},~\mathcal{Z}(u_{i,j+1})=U_{j+1}. $$

Debido a los enlaces de tesis, esto le da a (4.10) $$ U_j=\frac{h_t}{2h_x^2}\left[\left(\frac{2h_x^2}{h_t}+2a_1h_x^2-4a_2\right)z^{-1}U_j+(2a_2-a_3h_x)z^{-1}U_{j-1}+(2a_2+a_3h_x)z^{-1}U_{j+1}+\color{blue}{2b_1h_x^2}\right] $$

Realmente estoy preguntando sobre el azul sumando! ¿Por qué no es $$ \mathcal{Z}(2b_1h_x^2)=2b_1h_x^2\mathcal{Z}(1)? $$

¿Hay alguna razón para que o es un error? Yo realmente preferiría que no hay alguna razón para ello. :-)

En particular, esto parece relevante, ya que el autor está interesado en los polos y ceros $z$ de la z-transformar con $\lvert z\rvert <1$ por razones de estabilidad; pero para$\lvert z\rvert <1$, $\mathcal{Z}(1)$ diverge. Por otra parte, la determinación de los ceros y los polos no funciona como se hace en la tesis en caso de que el sumando es $2b_1h_x^2\mathcal{Z}(1)$.

Answer 1

Para la ecuación que escribes, el Z-transformar de hecho incluir el término de #% de %#%.

Creo que debe ser un término con la condición inicial $\mathcal Z(1)$, porque $u_{0,j} $, pero digress.

Aquí le damos una idea para librarse de tener que lidiar con $\mathcal Z(u_{i,j}) = z^{-1}U_j + u_{0,j}$, al menos en el caso $b_1$, porque en ese caso, la función constante $a_1 \ne 0$ satisface la ecuación no homogénea, y por lo tanto, $v_{i,j} = -\frac{b_1}{a_1}$ satisface la ecuación homogénea (sin $u-v$).