Una propiedad de mapas biyectiva continua en el plano.

Question

Un no vacío abierto conectado limitado set $D$ $\mathbb{R}^2$ y que $f:D\to D$ biyectiva continua mapa. Es bien sabido que $f$ no podría tener puntos fijos i. e. $f(p)\not=p$ % todos $p\in D$.

Me gustaria saber si tiene la siguiente propiedad más débil: hay un $p\in D$ tal que $d(f(p),\partial D)=d(p,\partial D)$ $d(z,\partial D)$ Dónde está la distancia Euclídea de un $z\in \mathbb{R}^2$ límite de $D$. Se apreciará cualquier referencia existente en la literatura.

Answer 1

Como fue señalado por el usuario $\bf{studiosus}$ en los comentarios de abajo, este argumento se ha simplificado considerablemente por la observación de que $g(p)=d(f(p),\partial D)$ es un almacén de la función en $D$ que converge a $0$ $p$ enfoques $\partial D$; por lo tanto, $g$ alcanza su máximo para algunos $p\in D$.

Observar que $d(f(p),\partial D)=\inf\{d(f(p),x)\colon x\in\partial D\}$ es una función continua de $p$. Por lo tanto, $d(f(p),\partial D)-d(p,\partial D)$ es continua así. $d(f(p),\partial D)-d(p,\partial D)$ mapas en $[-R,R]$ algunos $R>0$. Desde $D$ está conectado, la imagen de $D$ bajo $d(f(p),\partial D)-d(p,\partial D)$ está conectado, y, por lo tanto, un intervalo como $D$ está acotada.

Por lo tanto, si hubo ningún punto fijo wrt distancia del límite, entonces cualquiera de las $d(f(p),\partial D)<d(p,\partial D)$ o $d(f(p),\partial D)>d(p,\partial D)$ todos los $p$, y a la inversa. También podría utilizar el equivalente a la condición de $d(f^{-1}(p),\partial D)<d(p,\partial D)$$d(f(p),\partial D)>d(p,\partial D)$.

Sin embargo, $d(f,\partial D)\colon D\to (0,\infty)$ logra su supremum en $D$ $d(f,\partial D)$ está delimitada en $D$ y converge a $0$ $p$ enfoques $\partial D$. Supongamos $p_0$ es un punto donde la $d(f,\partial D)$ logra su supremum en $D$. A continuación,$d(f(p_0),\partial D)-d(p_0,\partial D)>0$$d(f^{-1}(f(p_0)),\partial D)-d(f(p_0),\partial D)<0$. Por lo tanto, no existe un punto de $p\in D$ tal que $d(f(p),\partial D)-d(p,\partial D)=0$.