Encontrar el volumen utilizando integrales triples

Question

Integrales triples y coordenadas Cartesianas, encontrar el volumen del sólido limitado por

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $ $ y el % de coordenadas planos $x=0, y=0,z=0$

Mi opinión
He puesto los parámetros a $$ 0\le x \le a$$ $$0\le y \le b\left( 1 - \frac{x}{a} \right)$$ $$0\le z \le c \left( 1 - \frac{y}{b} -\frac{x}{a} \right) $$ and evaluated $$ \int_0^{a} \int_0^{b\left( 1 - \frac{x}{a}\right)} \int_0^{c \left( 1 - \frac{y}{b} -\frac{x}{a} \right)} 1 dzdydx$$ and gotten $0$ as my final answer but the actal answer is $\frac{abc}{6}$

No importa, encontré el error que estaba haciendo, solo un simple error integral pero es el procedimiento correcto. ¡Gracias por ver! :)

Answer 1

Aquí es una alternativa de cálculo utilizando una sola variable integral que confirma su resultado. La siguiente figura representa el dado de la pirámide.

Las ecuaciones de las líneas situadas en los planos, $y=0$ $z=0$ son:

$$y=0,\qquad\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow z=\left( 1-\frac{x}{a}\right) c,$$

$$z=0,\qquad\frac{x}{a}+\frac{y}{c}=1\Leftrightarrow y=\left( 1-\frac{x}{a}\right) b.$$

La intersección de la pirámide con el plano perpendicular a la $x$eje $x$ es un triángulo rectángulo con catheti $\left( 1-\frac{x}{a}\right) c$$\left( 1-\frac{x}{a}\right) b$, cuya área de $A(x)$ está dado por

$$A(x)=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{x}{a}\right) b\left( 1-\frac{x}{a}\right) c=\frac{bc}{2}\left( 1-\frac{x}{a}\right) ^{2}.$$

Por lo tanto el volumen está dado por la integración de la zona $A(x)$ $x=0$ $x=a$

$$\begin{eqnarray*} V &=&\int_{0}^{a}A(x)dx \\ &=&\frac{bc}{2}\int_{0}^{a}\left( 1-\frac{x}{a}\right) ^{2}dx \\ &=&\frac{bc}{2}\left( a-\frac{2}{a}\frac{a^{2}}{2}+\frac{1}{a^{2}}\frac{a^{3} }{3}\right) \\ &=&\frac{abc}{6}. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Esto es del todo correcto. Aquí es una comprobación geométrica. La simple unidad, delimitada por el orthant positivo y el % de avión $x + y + z = 1$tiene volumen 1/6. Se extienden a lo largo de los tres ejes, factores $a$, $b$ y $c$, por lo tanto su resultado $abc/6$.

Es bueno ver que has encontrado la glych.