Prueba

Question

¿Cómo probar $\lim_{n\rightarrow\infty} n(2^{1/n} - 1) = \log 2$?

Fondo: en informática, si asigna tiempo de CPU a los procesos de $n$ programación de ritmo monótono, todos los procesos de Obtén suficiente cantidad de tiempo cuando el % de la cantidad $U$llamada de la CPU es menor o igual a $n(2^{1/n} - 1)$. Es monótonamente decreciente y tiende a $\log 2$ cuando $n\rightarrow\infty$, así que si $U \le \log 2$, puede estar seguro de todos los procesos se dará suficiente CPU tiempo.

Answer 1

Deje $h=1/n$. Es suficiente para demostrar que $$\lim_{h\to 0}\frac{2^h-1}{h}=\log 2.$$

Este dice que la derivada de $2^x$$x=0$$\log 2$, lo cual es fácil de comprobar.

Comentario: lo que es Equivalente, deje $x=1/n$, reescribir nuestra expresión como $\frac{e^{(\ln 2) x}}{x}$, y encontrar el límite de este como $x\to 0$ el uso de L'Hospital de la Regla. Pero reducir a la definición de la derivada tiene una más "elemental".

La matemática enfoque natural es la de Ilya. La expansión de Taylor de $2^x$, es decir, de $e^{(\ln 2)x}$, nos dice acerca de los "locales" comportamiento de $2^x$ cerca de $x=0$, por lo que es el derecho de la herramienta a utilizar. La derivada también nos habla acerca de local comportamiento, pero la expansión de Taylor es de grano fino.

Answer 2

Depende de sus conocimientos, por ejemplo, con la expansión de Taylor tiene $2^x-1\sim x\log2$ $x\to 0$, lo $ \lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{2}-1) = \lim\limits_{x\to 0}\frac1x(2^x-1) = \lim\limits_{x\to 0}\frac1x(x\log2) = \log 2. $$

Answer 3

Tenemos $$\lim_{n\to\infty} n(2^{1/n} - 1) = \lim_{t\downarrow 0}{2^t - 1\over t}.$$ Put $f(t) = 2^t$; entonces el límite es sólo $f'(0)$. Desde $f'(x) = 2^x\log(2)$, hemos terminado.