¿Topología del producto en $X \times Y$ la topología más pequeña cuando $f(x, y) = x$ y $g(x, y) = y$ son funciones continuas?

Question

$X$ $Y$ son espacios topológicos y deje $f : X \times Y \to X$ $g : X \times Y \to Y$ mapas que $f(x, y) = x$$g(x, y) = y \ \forall (x, y) \in X \times Y$ . Demostrar que el producto de la topología en $X \times Y$ es el más pequeño de la topología en $X \times Y$ para que tanto el $f$ $g$ son continuas.

Creo que entiendo lo que está pasando aquí. Aquí es cómo yo lo veo.

Como $f$ es continua, tomar un conjunto abierto $U \subset X$ y es la inversa de la imagen $(U, Y)$ a $X \times Y$ para cualquier topología en $X \times Y$.

Del mismo modo, como $g$ es continua, tomar un conjunto abierto $V \subset Y$ y es la inversa de la imagen $(X, V)$ a $X \times Y$ para cualquier topología en $X \times Y$.

Por lo tanto $(U, Y) \bigcap (X, V) = (U, V)$, que estará abierta en $X \times Y$ para cualquier topología en $X \times Y$.

Ahora el conjunto $\{(U, V): U \in X, V \in Y\}$ es el producto de la topología por lo tanto, estamos diciendo que el producto de la topología será un subconjunto de cualquier otra topología en $X \times Y$ al $f$ $g$ son continuos los mapas, como se define arriba.

Es mi entendimiento correcto? Si así es mi prueba clara o es desordenado?

Answer 1

La prueba parece ser esencialmente correcta, pero me parece que su notación bastante raro. Se parecen a leer$(U,V)$$U \times V$, al menos a veces, así que realmente no puedo decir si su prueba es formalmente correcta. He aquí cómo me gustaría escribir que la prueba

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Deje $T$ ser el cuadro de la topología en $X\times Y$, es decir, la topología generada por la base de $$ \left\{U\times V \,:\, \text{$U$ abierto subconjunto de $X$, $V$ abierto subconjunto de $Y$}\right\} \text{.} $$ (Esto es lo que se llama la topología producto en $X \times Y$. Nota, sin embargo, que la caja y el producto de las topologías de la misma sólo por el producto de un número finito de espacios!)

Si $U \subset X$ está abierto de ello se sigue que $f^{-1}(U) = U \times Y$ es abierto, es decir,$\in T$), y lo mismo si $V \subset Y$ es abierto, así es $g^{-1}(V) = X  \times V$, por lo tanto $f$ $g$ son continuas. Por tanto, lo que queda demostrado es que el $T$ es el más pequeño de la topología en $X \times Y$ con esa propiedad.

Para $f$ $g$ a ser continua, una topología $T'$ $X \times Y$ debe, al menos, satisfacer $$ T' \supset \left\{ f^{-1}(U) \,:\, \text{$U \subset X$ abierto}\right\} \cup \left\{ g^{-1}(V) \,:\, \text{$V \subset Y$ abierto}\right\}, $$ en otras palabras, la preimagen en $f$ $g$ de bloques abiertos en $X$ $Y$ debe estar abierto. También puede escribir como $$ T' \supset \left\{U\times Y \,:\, \text{$U$ abierto subconjunto de $X$}\right\} \cup \left\{X\times V \,:\, \text{$V$ abierto subconjunto de $Y$}\right\} \text{.} $$ Pero desde la intersección de un número finito de abiertos es abierta, y desde $U \times Y \cap X \times V = U \times V$, lo que implica que $$ T' \supset \left\{U\times V \,:\, \text{$U$ abierto subconjunto de $X$, $V$ abierto subconjunto de $Y$}\right\} \text{.} $$ Así que para cada topología $T'$, $f$ y $g$ continua implica que $T' \supset T$, e $T$ es así, de hecho el más pequeño ejemplo de topología.

Answer 2

El producto de la topología en $X \times Y$ está definido por dar una base para la topología, es decir, el conjunto de ${\mathcal B} := \{ U \times V \mid U \subseteq X \text{ open}, V \subseteq Y \text{ open} \}$.

(Como se mencionó en los comentarios, también se podría definir el producto de la topología para ser el más áspero de la topología que hace que las proyecciones continua. Desde el resto de la pregunta y de los comentarios de la OP, sin embargo, queda claro que el OP se define el producto de la topología a través de la base ${\mathcal B}$.)

Ahora supongamos que tenemos una variante de la topología en $X \times Y$; vamos a llamar a este espacio topológico $Z$ (por lo que tiene el mismo conjunto subyacente como $X \times Y$). Suponemos que las proyecciones de $f \colon Z \to X$ $g \colon Z \to Y$ son continuos y queremos mostrar que cada subconjunto abierto $X \times Y$ es también un subconjunto abierto de $Z$.

Es suficiente para mostrar esto para el abierto de subconjuntos en ${\mathcal B}$, por lo que tomar un subconjunto abierto $U$ $X$ y un subconjunto $V$$Y$. Debemos argumentar que $U \times V$ está abierto en $Z$.

Su argumento ahora esencialmente funciona.

Debido a $U$ está abierto en $X$, su preimagen $f^{-1}(U) = U \times Y$ está abierto en $Z$. Asimismo, dado que el $V$ está abierto en $Y$, su preimagen $g^{-1}(V) = X \times V$ está abierto en $Z$. Ahora $U \times V = (U \times Y) \cap (X \times V)$ también está abierto en $Z$, según se requiera.

(Por otro lado, los errores en su argumento no están en su comprensión del argumento, pero en su presentación: estás mezclando $\cap$ $\times$ en alguna ocasión y que usted no menciona que el conjunto llamo a ${\mathcal B}$ anterior es sólo una base para la topología producto.)

Como alternativa, puede utilizar la característica universal del producto. Desde $f \colon Z \to X$ $g \colon Z \to Y$ son continuos, debe haber un único mapa continuo $u \colon Z \to X \times Y$ tal que $\pi_1 \circ u = f$$\pi_2 \circ u = g$.

Considerados como los mapas de conjuntos, el único candidato para $u$ es la identidad de $i \colon Z \to X \times Y$ y por lo tanto el mapa de identidad $i \colon Z \to X \times Y$ es continua. Así, dado un conjunto abierto $U \subseteq X \times Y$, su preimagen $U = i^{-1}(U) \subseteq Z$ está abierto.