¿Hay una secuencia infinita de números reales $a_1, a_2, a_3,... $ tal que ${a_1}^m+{a_2}^m+a_3^m+...=m$ para cada entero positivo $m$?

Question

¿Hay una secuencia infinita de números reales $a_1, a_2, a_3,...$ tal que ${a_1}^m+{a_2}^m+a_3^m+...=m$ para cada entero positivo $m$?

Traté de asumir que la secuencia $a_1^m, a_2^m,...$ forma una progresión geométrica, porque es el único tipo de series infinitas que sé cómo evaluar. Sé que mi intento no funciona para todos los enteros $m$, pero funciona para $m=1$:

Que $a_1=\dfrac 12$ y $a_n=a_1^n$

Tenemos $a_1^m+a_2^m+a_3^m+...=(a_1)^m+(a_1^2)^m+(a_1^3)^m+...= \left( \dfrac 12 \right)^m+ \left(\dfrac 12 \right)^{2m}+ \left(\dfrac 12 \right)^{3m}+...=\sum_{i=1}^\infty \left( \dfrac 12 \right)^{i \cdot m}=m$

Ahora si dejamos $m=1$, tenemos $\sum_{i=1}^\infty \left( \dfrac 12 \right)^{i}=\dfrac {\dfrac 12}{1-\dfrac 12}=1$

Answer 1

Supongamos que tenemos una secuencia $\{a_i\}$ con la propiedad deseada. Esto lleva a una contradicción.

Vamos a considerar sólo $m$, por lo tanto podemos suponer sin pérdida de generalidad que todos los $a_i$ son no negativos. Si $a_k>1$ cualquier $k$, entonces el LHS es, al menos,$a_k^m$, que es mayor que $m$ para suficientemente grande $m$. Esto es una contradicción, por lo tanto, todos los $a_i\in [0,1]$. Pero ahora $a_i^{m+2}\le a_i^m$ todos los $i$, de modo que el lado izquierdo es nonincreasing con $m$. Esto es de nuevo una contradicción, ya que el lado derecho es el aumento de con $m$.

Answer 2

No existe tal secuencia. De hecho, no es ninguna secuencia de números verdaderos (ya sea finito o infinito) que

$$\sum_{k} a_k^m = m\quad\text{ for }\quad m = 2, 3, 4$$

Asumir lo contrario, digamos que de hecho existe tal secuencia.
Cauchy-Schwarz se aplican a $(a_k)$ y $(a_k^2)$, encontramos:

$$9 = 3^2 = \left(\sum_{k} a_k^3\right)^2 = \left(\sum_{k} a_k\cdot a_k^2 \right)^2 \le \left(\sum_{k} a_k^2 \right)\left(\sum_{k} a_k^4 \right) = 2\cdot 4 = 8$$

que es claramente imposible.

Answer 3

Resumiendo su idea con la versión modificada de la serie geométrica, $a_i = q^i$: $$ \sum_{i=0}^N q^{im} = \sum_{i=0}^N (q^m)^i = \frac{1 - (q^m)^{N+1}}{1 - p^m} \a \frac{1}{1 - p^m} $$ para $N \to \infty$ si $\lvert q^m \rvert < 1$.

Además, usted desea: $$ \frac{1}{1-p^m}= m \ffi \\ q^m = 1 - \frac{1}{m} = \frac{m-1}{m} \ffi \\ q = \left( \frac{m-1}{m} \right)^{1/m} $$

Ejemplo de $m=2$: a Continuación, $q = ((2-1)/2)^{1/2} = 1/\sqrt{2}$ y obtenemos $$ \sum_{i=0}^\infty q^{im} = \sum_{i=0}^\infty (1/\sqrt{2})^{2} = \sum_{i=0}^\infty ((1/\sqrt{2})^i)^2 = \sum_{i=0}^\infty (1/2)^i = \frac{1}{1-1/2} = 2 = m $$ como $\lvert 1/2 \rvert < 1$.