Uso de la topología para caracterizar subgrupos de Lie embebidos de grupos de Lie.

Question

El teorema de Cartan afirma que cualquier subgrupo topológicamente cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie incrustado.

Esto nos lleva a plantear la siguiente pregunta:

¿Podemos sustituir "topológicamente cerrado" por una propiedad topológica diferente y obtener el mismo resultado? Por ejemplo, ¿es un subgrupo semilocalmente conectado de un grupo de Lie un subgrupo de Lie embebido? ¿Es un subgrupo localmente conectado y semilocalmente conectado de un grupo de Lie un subgrupo de Lie incrustado?

Algunas observaciones: Un subgrupo conectado en arco de un grupo de Lie no siempre es un subgrupo de Lie embebido. Por ejemplo, consideremos el siguiente ejemplo tomado de http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_subgroup :

"...tomemos G como un toro de dimensión ≥ 2, y dejemos que H sea un subgrupo de un parámetro de pendiente irracional, es decir, que serpentea en G. Entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie φ : R → G con H como imagen. El cierre de H será un subtoro en G".

Este ejemplo es un subgrupo conectado en arco (pero no localmente conectado) de un grupo de Lie que no es un subgrupo de Lie embebido. La cuestión es que en la definición de un subgrupo de Lie encajado se requiere que el subgrupo sea agradable con respecto a la topología del subconjunto, para que el subgrupo de Lie sea un submanifold encajado. Véase la sección sobre submanifolds embebidos en

http://en.wikipedia.org/wiki/Submanifold

Por lo tanto, cualquier restricción topológica que utilicemos para reemplazar "cerrado" tiene que ser más fuerte que la conexión en arco.

Answer 1

Editar En realidad, esto no responde a la pregunta. Yo no asumo que los subgrupos de Lie sean submanifolds embebidos, mientras que el OP sí lo hace.

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Creo que esta pregunta tiene una respuesta clásica. En la obra de Knapp revisar del libro de Wulf Rossmann Grupos de Lie: una introducción a través de los grupos lineales menciona que este problema fue resuelto por Chevalley en la década de 1940 y la condición es la de lo que Chevalley llamó un subgrupo de análisis . A pesar del nombre, la noción es topológica.

Los subgrupos analíticos son precisamente los que están conectados en lo que Rossmann llama el topología de grupo . Esta es la topología generada por la imagen bajo el mapa exponencial del $\epsilon$ -bolas en el álgebra de Lie. En otras palabras, un subconjunto $U$ de un grupo de Lie $G$ es abierto si y sólo si para cada $a \in U$ hay algo de $\epsilon>0$ tal que el conjunto $$ \left\lbrace a \exp(X) \mid \|X\|<\epsilon \right\rbrace $$ está contenida en $U$ .

(La asimetría en la definición es ficticia: o bien $a\exp(X)$ o $\exp(X) a$ definen la misma topología).

Answer 2

Editar Esta respuesta no es válida para la pregunta porque el OP quería submanifolds incrustados. Dejo la respuesta porque se trata de una pregunta relacionada y contiene una referencia a un artículo.

Un subgrupo conectado en arco de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie al menos en el caso analítico; cf. este . Recuerdo que está en el apéndice del volumen 1 de la obra de Kobayashi y Nomizu Fundamentos de Geometría Diferencial.

Answer 3

Para los subgrupos analíticos (es decir, inmersos y conectados) estar embebido (es decir, ser un submanifold regular) es equivalente a estar topológicamente cerrado. Esta equivalencia sólo es válida para los grupos de Lie. No recuerdo exactamente la prueba de la inversa, pero es algo así: si $H$ es un subgrupo de Lie incrustado su cierre K es un subgrupo cerrado, por lo tanto incrustado también. Si la dimensión de K es mayor que la de H se produce una contradicción porque en los submanifolds regulares se pueden tomar gráficos con un corte aislado... Supongo que esto se hace en el libro de Warner.