Tengo problemas para entender alguna sutileza de la definición del conjunto resolvente para un operador A acotado y definido en todas partes en algún espacio de Hilbert. El libro que uso (y muchas otras fuentes) da lo siguiente: $\lambda \in \mathbb C $ está en el conjunto de resolventes si $ R_{ \lambda} = ( \lambda \mathbb I - A ) ^ {-1} $ existe, está acotado y el rango de $\lambda \mathbb I -A$ es denso. Ahora comienza mi razonamiento. Este rango es también el dominio del resolvente. Como es un operador acotado en un dominio denso puede extenderse a todo el espacio de Hilbert por continuidad. $ ( \lambda \mathbb I - A ) R_{\lambda}$ es igual a la identidad en el subconjunto denso por lo que su extensión es la identidad en todo el espacio de Hilbert. Del mismo modo $R_{\lambda} (\lambda \mathbb I - A ) $ es identidad en todo el espacio de Hilbert por definición de resolvente. Pero esto significa que $A - \lambda \mathbb I$ es biyección porque tiene inversa izquierda y derecha. Por lo tanto, su rango es en realidad todo el espacio de Hilbert. Pero si ese es el caso, ¿por qué todo el mundo exige que sea simplemente un subconjunto denso?
Respuesta
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Tu razonamiento es correcto, para un operador continuo (acotado) definido en todas partes $A$ en un espacio de Banach (en particular en un espacio de Hilbert), la densidad del rango de $\lambda\mathbb{I} - A$ junto con la acotación de la inversa ya implica la subjetividad de $\lambda\mathbb{I} - A$ y una definición equivalente del conjunto resolvente en este entorno es
$$\rho(A) = \{\lambda\in \mathbb{C} : \lambda\mathbb{I} - A \text{ is bijective}\},$$
y esta definición también se da en la literatura.
La ventaja de la definición que has citado es que esa definición se puede utilizar sin cambios para el caso de operadores cerrables no acotados (densamente definidos) sobre espacios de Banach (o más concretamente de Hilbert). En el caso de los operadores no acotados, la densidad del rango y la acotación de la inversa no implican la subjetividad, por lo que las dos formulaciones de la definición no serían equivalentes.
