con desigualdad $\frac{1}{3a+5b+7c}+\frac{1}{3b+5c+7a}+\frac{1}{3c+5a+7b}\le\frac{\sqrt{3}}{4}$

Question

que $a,b,c>0$, tal $ab+bc+ac=1$, mostrar que $$\dfrac{1}{3a+5b+7c}+\dfrac{1}{3b+5c+7a}+\dfrac{1}{3c+5a+7b}\le\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ $

por Macavity C-S:desigualdad $\frac{y}{xy+2y+1}+\frac{z}{yz+2z+1}+\frac{x}{zx+2x+1}\le\frac{3}{4}$ $$\dfrac{1}{3a+5b+7a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{6a+9b}+\dfrac{1}{b+7c}\right)$ $ basta para mostrar $$\sum_{cyc}\left(\dfrac{1}{6a+9b}+\dfrac{1}{b+7c}\right)\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $

Answer 1

Uso de Cauchy-Schwarz en una manera diferente: $$\begin{align} 2(3a+5b+7c) &= 15(a+b+c)-(9a+5b+c) \\ &= \sqrt{(118+107)(2+a^2+b^2+c^2)} - (9a+5b+c)\\ &\ge \sqrt{118\cdot2}+\sqrt{(9^2+5^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)} -(9a+5b+c)\\ &\ge 2\sqrt{59} \end {Alinee el} $$

$$\implies \sum_{cyc} \frac1{3a+5b+7c} \le \frac3{\sqrt{59}} < \frac{\sqrt3}4$$

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P.d.: El máximo es $\dfrac{\sqrt3}5$, aunque de una manera sencilla de demostrar que se me escapa por ahora.