Demostrar que $A,B$ tienen un vector propio común

Question

Dejemos que $A,B$ sea $2\times2$ matrices reales que satisfacen $\det(A)=\det(B)=1$ y $$\text{tr}(A)>2 , \text{tr}(B)>2, \text{tr}(ABA^{-1}B^{-1})=2$$ Demuestra que A,B tienen un vector propio común.

Answer 1

Un posible enfoque:

1. Demuestre que cada uno de $A$ y $B$ tiene distintos valores propios reales positivos.
2. Por lo tanto, $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb R$ . Por un cambio de base, podemos suponer que $A=\operatorname{diag}(p,\frac1p)$ para algunos $p>0$ . Dejemos que $B=\pmatrix{a&b\\ c&d}$ en esta base.
3. Utilice las condiciones dadas y la hipótesis de (2) para demostrar que $bc=0$ es decir $B$ es triangular superior o inferior. Ahora el resto es sencillo.