Calcular el diferencial de un mapa liso

Question

Que $S\subseteq \mathbb{R}^3$ ser una superficie regular orientada y que $N$ un campo del vector unitario normal en $S$. Consideramos el mapa $F:S\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3$ definidas en $F(p,t):= p+tN_p$ y queremos calcular $DF_{(p,t)}:T_pS\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$.

¿Alguien me puede mostrar cómo hacer este cálculo?

Answer 1

Fijemos la $(p,t)\in S\times\mathbb R$, $(u,h)\in T_{(p,t)}(S\times\mathbb R)\cong T_pS\times\mathbb R$.
Que $\gamma:I\to S$ ser una curva suave con $\gamma(0)=p$ y $\dot\gamma(0)=u$. Entonces $$(D_{(p,t)}F)(u,h)=\left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}F(\gamma(s),t+sh)= \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}\left(\gamma(s)+(t+sh)N_{\gamma(s)}\right)=u+hN_p+t(D_pN)u$ $ ahora recordamos que el Weingarten mapa $W:TS\to T\mathbb S^2$ se define como el derivado negativo del Gauss mapa $N:S\to\mathbb S^2$, que$$ $$\begin{array}{cccc}(D_{(p,t)}F):&T_{p,t}(S\times\mathbb R)\cong T_pS\times\mathbb R&\to&T_{F(p,t)}\mathbb R^3\cong\mathbb R^3\\&(u,h)&\mapsto&u+hN_p-t(W_p)u\end{array}$$