Si $x^3+\frac1{x^2}=1$, ¿qué es $x^3+\frac1{x^3}$?

Question

1. $x^3 + \frac1{x^2} = 1$. Entonces, $x^3 + \frac1{x^3} = ~?$

2. $p + \frac1{p^2} = 47$. Entonces, $p + \frac1p = ~?$

Answer 1

Para el segundo problema (en la forma: dado que el $p+\frac{1}{p^2}=47$, encontramos a $p+\frac1p$), podemos demostrar que, de hecho, es imposible para $p+\frac1p$ a ser un número racional.

En primer lugar, multiplique la parte izquierda de la ecuación de $p^2$ a volver a escribir como $f(p) = p^3-47p^2+1=0$. Ahora, $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (por la raíz racional teorema no tiene raíces racionales, y ya que es un polinomio cúbico, si se va a factor de al menos una de las raíces sería lineal). Lo que es más, todas las tres raíces son reales: $f(p)\to-\infty$ $p\to-\infty$, $f(0)\gt 0$ por inspección, $f(46)\lt 0$ también por la inspección (es $46^2\cdot (46-47)+1$), y $f(p)\to\infty$ $p\to\infty$ así que tenemos raíces en cada uno de los intervalos $(-\infty, 0)$, $(0,46)$ y $(46, \infty)$. Esto significa que no hay una "limpia" la fórmula para cualquiera de las raíces, a sólo Cardano al estilo de la fórmula.

Ahora, supongamos que el $p+\frac1p = \frac ab$, para algunas de las $a$$b$. Entonces esto puede ser reescrita como $bp^2+b=ap$ o $g(p) = bp^2-ap+b=0$; pero esto implica que la cúbico $f$ factores $\mathbb{Q}$ $f=gh$ para algunos lineal $h$, lo que hemos mostrado ya imposible. Por lo tanto, la expresión de $p+\frac1p$ no puede ser racional.

(De hecho, creo que esto demuestra algo más, a saber, que la expresión no puede incluso ser una ecuación cuadrática surd — porque las extensiones de $\mathbb{Q}$ tienen que ser de diferentes grados, pero mi Galois habilidades no son lo suficientemente fuertes para estar seguro de que.)

Tenga en cuenta que si ese problema, en vez, se encontrar $p+\frac1p$ que $p^2+\frac1{p^2}=47$, entonces tiene mucho más limpio respuesta: set $x=p+\frac1p$, multiplicar para encontrar$x^2$, y el sustituto de la información conocida acerca de la $p^2+\frac1{p^2}$ para obtener una ecuación fácil de $x$. Un enfoque similar de trabajo para el primer problema, si asumimos que la condición es, en realidad, $x^2+\frac1{x^2}=1$ y el objetivo es encontrar a $x^3+\frac1{x^3}$; en este caso, podemos establecer $x+\frac1x=c$. A continuación,$c^2=x^2+2+\frac1{x^2}$$c^3=x^3+3x+3\frac1x+\frac1{x^3} = x^3+\frac1{x^3}+3c$. El primero de estos, junto con la información dada, los encontrará $c$, y usted puede, a continuación, enchufe de que la información en la última encontrar $x^3+\frac1{x^3}$. No voy a estropear la sorpresa, pero tiene un lindo suficiente captura que sospecho que debe de haber sido la intención de la versión del problema!

Answer 2

$$\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+\frac1{x^2}+2\cdot x\cdot\frac1x=x^2+(1-x^3)+2=-x^3+x^2+3.$$

$$\left(x+\frac1x\right)^3=x^3+\frac1{x^3}+3\cdot x\cdot\frac1x\left(x+\frac1x\right)=x^3+\frac1{x^3}+3\left(x+\frac1x\right)$$

$$\text{At the same time,}\quad\left(x+\frac1x\right)^3=\left(x+\frac1x\right)^2\cdot\left(x+\frac1x\right)=(-x^3+x^2+3)\cdot\left(x+\frac1x\right)$$

$$\iff x^3+\frac1{x^3}=(-x^3+x^2)\cdot\left(x+\frac1x\right)=-x^4+x^3-x^2+x=-x(x^3-x^2+x-1)$$

$$\iff x^3+\frac1{x^3}=-x\cdot\frac{x^4-1}{x+1}=-x\cdot\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x+1}=-x(x-1)(x^2+1).$$

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$$\left(p+\frac1p\right)^2=p^2+\frac1{p^2}+2\cdot p\cdot\frac1p=p^2+(47-p)+2=p^2-p+49$$

$$p+\frac1p=\pm\sqrt{p^2-p+49}$$