¿Para que valores de $\alpha \in \mathbb{R}$, converge la serie $\sum_{n=1}^\infty n^\alpha(\sqrt{n+1} - 2 \sqrt{n} + \sqrt{n-1})$?

Question

¿Estudiar para qué valores de $\alpha \in \mathbb{R}$ la siguiente serie converge? (Tengo algunos problemas debido a la forma [$\infty - \infty$] que se presenta cuando se toma el límite).

$$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha(\sqrt{n+1} - 2 \sqrt{n} + \sqrt{n-1})$$

Answer 1

Sugerencia: $\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1} = \frac{-2}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}$

Por lo tanto, este término es para n grande aproximadamente $-2n^{-\frac{3}{2}}$

Answer 2

Usando el % de expansión de Taylor $\sqrt{1+x} =_{x\to 0} 1 + \frac x 2 - \frac {x^2}{8} + O(x^3)$, obtenemos $n \to \infty$: $$\begin{eqnarray} n^\alpha(\sqrt{n+1} - 2 \sqrt{n} + \sqrt{n-1}) & = & n^\alpha \sqrt{n} \left(\sqrt{1+\frac 1 n} - 2 + \sqrt{1-\frac 1 n}\right) \\ & = & n^{\alpha + 1/2} \left(1 + \frac 1 {2n} - \frac 1 {8n^2} - 2 + 1 - \frac {1}{2n} - \frac 1 {8n^2} + O(\frac 1 {n^3}) \right) \\ & = & -n^{\alpha + 1/2} \left(\frac 1 {4n^2} + O(\frac 1 {n^3})\right) \\ & \sim_{n\to\infty} & \frac{-1}{4 n^{3/2 - \alpha}} \end{eqnarray} $$ por lo tanto, la serie converge si y sólo si $\frac 3 2 - \alpha > 1$, es decir $\alpha < \frac 1 2$

Answer 3

Primera sugerencia: $$\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}+\sqrt{n-1}-\sqrt{n}$ $

Primer término:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

Segundo término:

$$\sqrt{n-1}-\sqrt{n} = (\sqrt{n-1}-\sqrt{n})\frac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} = \frac{-1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$$

Enchufe en el primero y el segundo resultado en el término original:

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-\frac{-1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}&=\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})}\\ &=\frac{-2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})} \end {Alinee el} $$

Así $\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1} = O\left(\frac{1}{\sqrt{n}^3}\right)$. Esto debería ayudarle a...

Answer 4

Tenga en cuenta que $\sqrt{n\pm 1}=n^{1/2}\left(1\pm \frac{1}{n}\right)^{1/2}=n^{1/2}\left(1\pm \frac{1}{2n}-\frac{1}{8n^2}+O(n^{-3})\right)$.

Así, tenemos

$$\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}=n^{1/2}\left(-\frac{1}{4n^2}+O(n^{-3})\right)$$

Para

$$n^{\alpha}\left(\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)=-\frac14 n^{\alpha -3/2}+O(n^{\alpha-5/2})$$

Así, la serie converge para $\alpha<1/2$ y diverge en otros lugares.