Deje $T>$ ser el período de $f$ como una función de la $t$, es decir,$f(t+T,x)=f(t,x)$. Dado $\xi\in\mathbb{R}$, vamos a $x(t,\xi)$ ser la única solución de $x'=f(t,x)=$ tal que $x(0)=\xi$. Entonces
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x(t,x(T,\xi))=x(t+T,\xi).
$$
En particular, si $x(T,\xi)=\xi$, $x(t,\xi)$ es periódica de período de $T$.
Definir $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$F(\xi)=x(T,\xi)$. Los resultados de la continua dependencia de los valores iniciales para la educación a distancia, $F$ es continua. Por otra parte, $x(t,\xi)$ es periódica de período de $T$ si y sólo si $F(\xi)=\xi$. Por lo tanto, para demostrar la existencia de periódicos de soluciones, es suficiente para probar que $F$ tiene puntos fijos. Para esto, vamos a demostrar que existe un número finito de intervalo cerrado $[a,b]$ tal que $F([a,b])\subset[a,b]$.
Deje $a=\inf\{\psi(0),\psi(T),\psi(2\,T),\dots\}$$b=\sup\{\psi(0),\psi(T),\psi(2\,T),\dots\}$; la condición en $\psi$ implica que el $a$ $b$ son finitos. Si $a=b$, $\psi$ es constante, y por lo tanto los periódicos. Suponga $a<b$. Dado $\xi\in(a,b)$, $m,n$ tal que $\psi(m\,T)<\xi<\psi(n\,T)$. Por la unicidad de las soluciones
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F(\xi)=x(T,\xi)<x(T,\psi(k\,T))=x(T+k\,T,\psi(0))=\psi((k+1)T)\le. b.
$$
Del mismo modo, $F(\xi)\ge a$. Desde $F$ es continua, se sigue que $F([a,b])\subset[a,b]$.
