¿La ley de los grandes números converge en $L^1$ ?

Question

He visto el ley de los grandes números se expresa principalmente en dos (o tres) formas: $S_n/n$ converge en probabilidad (ley débil) y converge casi con seguridad (ley fuerte). Además, hay convergencia en la $L^2$ -para variables aleatorias no correlacionadas ( $L^2$ ley débil).

Sin embargo, existe una prueba de martingala al revés de la ley fuerte de los grandes números (cualquier libro de teoría de la probabilidad de nivel universitario, por ejemplo Durrett, debería tenerla). Lo importante es que $M_{-n}:=S_n/n$ es una martingala hacia atrás, y las martingalas hacia atrás convergen tanto a.e. como en la $L^1$ -norma. Entonces, en particular, $S_n/n$ converge en el $L^1$ -normas.

En $S_n/n$ convergen realmente en el $L^1$ -¿norma?

• Si es así, ¿por qué no se menciona nunca?
• Si no es así, ¿qué hay de malo en mi prueba anterior?

Answer 1

Sí, $\bar X_n = S_n / n$ converge a $\mu$ en $\mathscr{L}_1$ . Basta con demostrar que $\bar X_n$ es uniformemente integrable ya que sabemos que $\bar X \to \mu$ en la probabilidad. Esto se deduce muy rápidamente del hecho de que el $X_i$ son trivialmente uniformemente integrables (basta con fijar $\epsilon > 0$ y elija $\delta > 0$ para que si $P(A) < \delta$ entonces $\int_A |X_n| \ dP < \epsilon$ para todos $n$ y mostrar esto $\delta$ también funciona para $\bar X_n$ ). También es necesario mostrar $\sup E|\bar X_n| < \infty$ pero esto se deduce de la desigualdad del triángulo ya que $X_1 \in \mathscr L_1$ .

No sé si diría que esto no se menciona. Sé que es un ejercicio en el libro de Chung, y me sorprendería que no estuviera también en alguna parte de Billingsley. La gente no parece preocuparse tanto por $\mathscr L_p$ convergencia por estos lares porque la convergencia de la a.s. y la convergencia en $P$ parecen surgir más en entornos prácticos, pero eso es lo que me parece a mí como estudiante de estadística.