¿Alguien podría dar una sugerencia para calcular este límite por favor?
$$ \lim_{a \to \infty} \int\limits_0^{2010} \sqrt{x (1 + \cos ax)} \ \mathrm dx $$
No conozco métodos para resolver estos límites con integrales. Gracias.
Respuesta
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Este es uno de esos casos en los que no necesitan un general método -- usted necesita un truco (por que me refiero a un método que no hay que esperar a generalizar a otros problemas).
La idea crucial es que cuando $a$ va hacia el infinito, puede un promedio de más de la onda coseno en todas partes. La fabricación de este trabajo rigurosamente es un poco implicado, a pesar de que:
Para los métodos de representación de la conveniencia, establezca $M=2010$$\nu = \frac{a}{2\pi}$, y deje $L(\nu)=\int_0^M \sqrt{x(1+\cos 2\pi\nu x)}\,dx$. Estamos entonces en busca de $\lim_{\nu\to\infty}L(\nu)$. Es claro que $$\int_0^M \sqrt{\frac{\lfloor \nu x\rfloor}{\nu}}\sqrt{1+\cos 2\pi\nu x}\,dx \le L(\nu) \le \int_0^M \sqrt{\frac{\lceil\nu x\rceil}{\nu}}\sqrt{1+\cos 2\pi\nu x}\,dx$$ Si por un momento nos restringimos nuestra atención a $\nu$s que son múltiplos de $\frac{1}M$, podemos integrar a cada longitud de onda (donde $\lfloor \nu x \rfloor$ resp. $\lceil \nu x \rceil$ son constantes) por separado y se combinan para encontrar $$K \int_0^M \sqrt{\frac{\lfloor \nu x\rfloor}{\nu}}\,dx \le L(\nu) \le K \int_0^M \sqrt{\frac{\lceil\nu x\rceil}{\nu}}\,dx$$ donde $$K = \int_0^1 \sqrt{1+\cos 2\pi u}\,du = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos t}\,dt$$
Sin embargo, las integrales de los alrededores $L(\nu)$ ahora son solo sumas de Riemann para $\int_0^M \sqrt{x}\,dx$, y por lo tanto los límites para la $L(\nu)$ enfoque $$K\int_0^M\sqrt{x}\,dx = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos t}\,dt \int_0^M\sqrt{x}\,dx = \frac{4\sqrt 2}{2\pi}\cdot\frac{2}{3}\cdot M^{3/2} $$ que por lo tanto es el único límite.
Sólo queda ver que el $\nu$s que no son múltiplos de $\frac{1}{M}$ no puede evitar el límite de los actuales. Pero incluso si el promedio a lo largo del último parcial de la longitud de onda próxima a $x=M$ difiere de $K$, el margen de error resultante de esto puede ser en la mayoría de los $\frac 2\nu$, que va hacia el cero.
(Después de haber hecho todo esto, podemos ver que el truco en realidad es un método general para encontrar $\lim_{\nu\to\infty} \int_a^b f(x)g(\nu x)\,dx$ al $g$ es una función periódica. Pero ¿cuántas veces se ejecuta en estos problemas?)
