Descripción de SU (1, 1)

Question

Para una tarea de la pregunta, estoy obligado a "describir la Mentira del grupo SU(1, 1)". Esto es un poco ambiguo, pero creo que lo que significa es que necesito encontrar un parametrisation de los elementos del grupo. Sé que la forma general de una matriz en la $\mathrm{SU}(1, 1)$ está dada por $$\left( \begin{array}{ccc} \alpha & \beta \\ \beta^* & \alpha^* \end{array} \right), $$ where $|\alpha|^2 - |\beta|^2 = 1$. So, I'm trying to get a "parametrisation" of the entries of this matrix, in the same way that $\a la izquierda( \begin{array}{ccc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \in \mathrm {} (2)$ can be parametrised by $g (\theta) = \left( \begin{array}{ccc} \mathrm{cos}(\theta) & -\mathrm{sin}(\theta) \\ \mathrm{sin}(\theta) & \mathrm{cos}(\theta) \end{array} \right) $, with $\theta \(- \pi, \pi] $. I'm pretty sure that such a parametrisation for $\mathrm{UB}(1, 1)$ would involve 3 parameters, and the exponential function and hyperbolic trigonometric functions. I can't quite see how to get it based on the intrinsic form of the group elements though. My guess would be something like $$g(\omega \phi \theta) = \left( \begin{array}{ccc} e^{i\phi}\mathrm{cosh}(\theta) & e^{i\omega}\mathrm{sinh}(\theta) \\ e^{-i\omega}\mathrm{sinh}(\theta) & e^{-i\phi}\mathrm{cosh}(\theta) \end{array} \right)$$ Esto parece funcionar, pero presumiblemente necesito para justificarlo. En otras palabras, supongo que yo tendría que demostrar que esto tiene de generar todos los elementos de a $\mathrm{SU}(1, 1)$ y que al menos tres parámetros son necesarios. Así que mi pregunta es: a partir de la descripción genérica de los elementos de $\mathrm{SU}(1, 1)$, ¿cómo podemos derivar una parametrisation como la de arriba? Y ¿cómo podemos estar seguros de que esta "obras" (en el sentido de que genera todos los elementos del grupo y utiliza el menor número posible de parámetros)?

También, como parte de la descripción, creo que es necesario demostrar que la $\mathrm{SU}(1, 1)$ es isomorfo a $\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$, y no estoy del todo seguro de cómo hacer esto. He leído en alguna parte que la "Cayley transformar" da un isomorfismo, pero yo realmente no sé lo que es. Hay un camino "fácil" para ver que estos dos grupos son isomorfos? Disculpas si estas preguntas suenan demasiado simples. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Desde $SU(1,1)$ se define como un conjunto de 2 por 2 matrices $U$ con la unidad determinante tal que $U^\dagger J U = J$ donde $J = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$. Que, precisamente, conseguir que la forma general de dicha matriz es

$$ U = \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right) $$ donde $ \vert \alpha \vert^2 - \vert \beta \vert^2 = 1$, $ \vert \delta \vert^2 - \vert \gamma \vert^2 = 1$ y $(\alpha \, \beta^\ast)^\ast = \gamma \, \delta^\ast$. Esto implica $\delta = \alpha^\ast$ $\gamma = \beta^\ast$ como seguramente sabes.

Ahora $ \vert \alpha \vert^2 - \vert \beta \vert^2 = 1$ es una verdadera ecuación por 4 reales de los parámetros en 2 números complejos. La ecuación que te deja con 3 parámetros libres, y su solución es la más general para $SU(1,1)$.

Para la segunda parte de su pregunta. Elementos de $SL(2, \mathbb{R})$ son de 2 en 2 matrices con coeficientes reales y la unidad determinante. Tanto en $SL(2, \mathbb{R})$ $SU(1,1)$ son formas reales de $SL(2, \mathbb{C})$.

El isomorfismo es establecido de la siguiente manera (ver Bargamann del artículo). Definir, de 2 en 2 Hermitian matriz $Z$ como sigue: $$ Z = \left( \begin{array}{ll} x_0 + x_3 & x_1 + i x_2 \\ x_1 - i x_2 & x_0 - x_3 \end{array} \right) $$ Observe que $\det Z = x_0^2 - x_1^2-x_2^2 - x_3^2$. Asignaciones $Z \to g^\dagger Z g$ donde $g$ es complejo, de 2 en 2 matrices con determinante, es decir, $SL(2, \mathbb{C})$ preservar el determinante.

No es difícil ver que $SU(1,1)$ corresponden a las transformaciones que la revisión de hyper-avión $x_3 = 0$, mientras que $SL(2,\mathbb{R})$ corresponden a las transformaciones que arreglar hyperplane $x_2=0$, mientras que las transformaciones que arreglar $x_1=0$ corresponden a $Sp(2, \mathbb{R})$. Todos ellos son isomorfos a través de la rotación en el espacio ambiente formado por $Z$.