Línea poligonal en una plaza

Question

Una línea poligonal de longitud $1001$ se da en un cuadrado unidad. Demostrar que existe una línea paralela a uno de los lados de la plaza que cumpla al menos la línea poligonal en $500$ puntos.

Mi intento:

Yo no he hecho mucho. Traté de tomar una parte muy pequeña de la línea poligonal de longitud $t$ y considerar su $x$, $y$, de la componente vertical de la componente horizontal y luego no he hecho nada más desde aquí. Cualquier ayuda es bienvenida. Muchas gracias.

Answer 1

No asumimos ninguna segmento de la poligonal de la línea es vertical u horizontal, de lo contrario el problema es trivial. Deje $f(u)$ el número de puntos de la poligonal en el segmento de $x=u$; deje $g(v)$ el número de puntos de la poligonal en el segmento de $y=v$. Usted debe ser capaz de obtener el límite inferior $$ \int_0^1 f(u)\,du + \int_0^1 g(v)\,dv > 1001 $$ teniendo en cuenta la contribución de un determinado segmento de la poligonal a ambas integrales. Esto significa que hay un $u$ que $f(u)>1001/2$ o $v$ que $g(v)>1001/2$. Así que, de hecho, usted consigue $501$ señala no sólo $500$.