Definición de un conjunto afín

Question

Algunos recursos dicen que un conjunto $A \subset V$ es afín si $\forall x,y \in A, t \in F$, $tx+(1-t)y \in A$ mientras que otros dicen que $A$ es afín si $\forall x_1,\dotsb,x_n \in A, a_1, \dotsb a_n, \in F, a_1+\dotsb+a_n = 1$, $a_1x_1+\dotsb+a_nx_n \in A.

Estoy tratando de demostrar que estos dos son equivalentes. Supongamos que se cumple el primero. Entonces quiero demostrar $\forall x_1,\dotsb,x_n \in A, a_1, \dotsb a_n, \in F, a_1+\dotsb+a_n = 1$, $a_1x_1+\dotsb+a_nx_n \in A. Primero considero un caso simple donde solo hay tres elementos, ${x_1,x_2,x_3}$, pero no creo que sea viable. ¿Entonces tal vez el primero está equivocado? Porque la segunda definición incluye el interior de un triángulo mientras que la primera no.

Answer 1

Tenga en cuenta que la segunda definición es una generalización de la primera. Un conjunto es afín si y solo si contiene todas las rectas que pasan por dos puntos en el conjunto (por lo tanto, como un caso trivial, un conjunto que contiene un solo punto es afín).

(Gracias a @McFry, quien encontró un pequeño descuido en mi respuesta original.)

Use inducción: Suponga que es cierto para cualquier colección de $k \le n-1$ puntos (es trivialmente cierto para $n=1$) y considere el punto $\sum_k a_k x_k$.

Si $a_k = 1$ para todos los $k$, debemos tener $n=1$ (ya que $\sum _k a_k = 1$), por lo tanto hemos terminado. Por lo tanto, podemos asumir que $a_k \neq 1$ para algunos $k$. Al reordenar, podemos asumir que $a_n \neq 1$.

Entonces, suponga que $a_n \neq 1$, entonces puede escribir $\sum_k a_k x_k = \sum_{k

La otra dirección es inmediata.

Answer 2

Dados los puntos $x_1, \ldots, x_n$, por asunción tienes todas las líneas desde $x_i$ hasta $x_j$ contenidas en tu espacio. Ahora podrías argumentar que el interior de la forma son simplemente líneas entre puntos en las líneas que forman los bordes.