Pensar geométricamente puede ahorrar un montón de tiempo aquí. Dividir la superficie de la integral sobre el cono en dos integrales, una integral sobre la base circular (llamar a esta superficie $B$) y la integral sobre la parte curva del cono de la superficie de la conexión de la base al ápice (llamar a esta superficie $C$).
Tenga en cuenta la superficie integral sobre la $C$ primera. Tenga en cuenta que el campo de vectores cuya superficie integral que estamos evaluando es simplemente un escalar múltiples de la radio vector. Pero desde que se coloca el cono de vértice en el origen, cualquier radio vector desde el origen hasta un punto en la superficie de la $C$ también será un vector tangente a la superficie de la $C$ en ese punto. De ello se desprende que esta superficie integral se desvanece, ya que el producto escalar de una superficie vector tangente con la normal de la superficie de vectores es cero en cada punto:
$$\iint_{C}\vec{F}\cdot\hat{n}\,\mathbb{d}S=\frac13\iint_{C}\vec{r}\cdot\hat{n}\,\mathbb{d}S=0.$$
Ahora para la otra parte de la superficie de la integral, $\iint_{B}\vec{F}\cdot\hat{n}\,\mathbb{d}S$. De nuevo, $\vec{F}=\frac13\vec{r}$, y ya hemos orientado el cono de manera que su eje de simetría coincide con el $z$-eje, podemos ver que la unidad vector normal a esta parte del cono de la superficie es simplemente el concepto Cartesiano de la unidad de vector
$$\hat{n}=\hat{z}=\langle0,0,1\rangle$$. Parametrización un esta superficie también es sencillo:
$$\vec{r}(\rho,\phi)=\langle\rho\cos{\phi},\rho\sin{\phi},h\rangle,~~~\text{where }0\leq\rho \leq a,0\leq\phi\leq 2\pi.$$
Por lo tanto,
$$\vec{F}\cdot\hat{n}=\frac13 h\\
\implica \iint_{B}\vec{F}\cdot\hat{n}\,\mathbb{d} = \frac{h}{3}\iint_{B}\,\mathbb{d} = \frac{h}{3}(\pi^2).~~~QED$$
