Ayuda para probar bijection entre el subconjunto de $S^2$ y $\mathbb{R}^2$

Question

Bueno, he estado resolviendo algunos ejercicios sobre bijections entre los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^m$ para obtener la práctica con esto y estoy atascado con esto. Deje $S^2 \subset \mathbb{R}^3$ ser la unidad de la esfera, y deje $N = (0,0,1)$. Quiero mostrar que el mapa de $f : S^2 \setminus \{N\} \to \mathbb{R}^2$ da por:

$$f(x,y,z)=\left(\frac{2x}{1-z},\frac{2y}{1-z}\right)$$

es un bijection. Bueno, he intentado ir directo a partir de la definición. La primera de inyectividad: tengo que mostrar que $f(x_1,y_1,z_1)=f(x_2,y_2,z_2)$ implica $x_1=x_2$, $y_1=y_2$ y $z_1=z_2$. La hipótesis de da

$$\begin{cases}\frac{x_1}{1-z_1}=\frac{x_2}{1-z_2}\\ \frac{y_1}{1-z_1}=\frac{y_2}{1-z_2}\end{cases}$$

A partir de este, sustituyendo $1-z_1$ en la segunda ecuación por $x_1(1-z_2)/x_2$ he encontrado que esto implica que $x_1y_2=x_2y_1$, pero no podía ir más allá de este.

Para mostrar que $f$ es surjective, tengo que demostrar que, dado $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ hay algunas $(x,y,z)\in S^2\setminus \{N\}$ tal que $(a,b)=f(x,y,z)$, en otras palabras, tal que:

He tratado de demostrar surjectivity mirar la expresión de $f$ y el pensamiento de "lo $(x,y,z)$ debo poner ahí en términos de $(a,b)$ conseguir $f(x,y,z)=(a,b)$"? He encontrado luego de que $(a/2,b/2,0)$ hace el trabajo, pero este punto no es necesariamente en $S^2\setminus\{N\}$. Debo encontrar la $(x,y,z)$ tal que $f(x,y,z)=(a,b)$ e $x^2+y^2+z^2=1$. Pero, sólo en busca de un largo tiempo a estas dos condiciones, me parece muy difícil de adivinar. Hay una mejor manera de proceder?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Aquí está la inyectividad argumento:

Se ha demostrado que la $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{1-z_1}{1-z_2}$. Vamos a llamar a su valor común $\lambda$, por lo que $$x_1 = \lambda x_2,$$ $$y_1 = \lambda y_2,$$ $$z_1 = \lambda z_2 - \lambda + 1.$$ Then $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1$, of course, because it's on a sphere. But, plugging in the relationships above, we get $$\lambda^2 x_2^2 + \lambda^2 y_2^2 + (\lambda z_2 - \lambda + 1)^2 = 1,$$ which in turn gives $$\lambda^2 (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - 2(\lambda-1)\lambda z_2 + (\lambda-1)^2 = 1,$$ and using the fact that $x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 1$ (because it's on a sphere), this gives $$\lambda^2 - 2\lambda^2 z_2 + 2\lambda z_2 + \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 1,$$ which finally simplifies to give $$2\lambda(\lambda - 1)(z_2 - 1) = 0.$$ Hence either $\lambda = 0$ (which gives $(x_1, y_1, z_1) = (0,0,1)$, which is explicitly disallowed), or $\lambda = 1$, or $z_1 = 1$ (hence $x_1 = y_1 = 0$, which is explicitly disallowed). So $\lambda = 1$.

Editar:

Otro post que completaron el surjectivity parte fue eliminado, así que estoy añadiendo que:

Si $f(x,y,z) = \left(\dfrac{2x}{1-z}, \dfrac{2y}{1-z}\right)$ va a la igualdad de $(a,b)$,$a/b = x/y$, así que vamos a escribir $x = \mu a$, $y = \mu b$. Pero $\dfrac{2x}{1-z} = a = x/\mu$, lo $2\mu = 1-z$. Sustituir todo esto en $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ y resolver para $\mu$ en términos de $a^2 + b^2$.

(Volviendo a Daniel del comentario, aviso que $f^{-1}$ sólo dependía de $a^2 + b^2$, una especie de "radio" -como término, y $a/b$, una especie de "pendiente", como los de término. Esto le da una imagen geométrica de lo que la proyección estereográfica, pero estoy seguro de que Google puede darte mucho mejor.)