El estado coherente es el estado propio del operador de aniquilación

Question

Por lo que tengo entendido, la relevancia física y el interés de un estado coherente es que su dinámica se parece mucho a la de su análogo clásico.

Por ejemplo, para un quantum SHO $\langle x \rangle \sim \cos(\omega t)$ y $\langle p \rangle \sim \sin(\omega t)$ como en el caso clásico.

Matemáticamente, un estado coherente $|\alpha\rangle$ se define como el estado propio del operador de aniquilación $a$ , de tal manera que $$ a|\alpha\rangle = \alpha|\alpha\rangle.$$ Pregunta ¿existe una relación entre ser el estado propio del operador de aniquilación y tener una dinámica parecida a la clásica, o es una pura coincidencia?

Answer 1

Un estado maximalmente clásico debe tener una incertidumbre mínima e igualmente distribuida en $X$ y $P$ . En otras palabras, lo incierto en $X$ debe ser igual a la incertidumbre en $P$ y esta incertidumbre debe ser lo más pequeña posible. Esto nos lleva a $$ (X-\langle X\rangle)|\alpha\rangle=-i(P-\langle P\rangle)|\alpha\rangle $$ o si reordenamos la ecuación $$ \alpha|\alpha\rangle=\langle X+iP\rangle|\alpha\rangle=(X+iP)|\alpha\rangle=a|\alpha\rangle $$ donde $a=X+iP$ es el operador de descenso. Es importante tener en cuenta que $|\alpha\rangle$ sigue siendo un estado cuántico. Como usted ha señalado, $\langle X\rangle$ y $\langle P\rangle$ siguen la trayectoria clásica, pero si se calcula la varianza de $X$ y la varianza de $P$ encontrarás que son distintos a cero. El principio de incertidumbre debe cumplirse.

Answer 2

Gracias, ambas son grandes explicaciones. Yo ofrezco una explicación heurística: Cualquier estado del campo electromagnético se caracteriza por una distribución de probabilidad de ocupación de los estados del número de fotones |m>. Supongamos que el estado que buscamos tiene un número esperado de fotones mayor que cero. Durante la absorción, los fotones se eliminan de cada estado que tiene fotones. También existe, en general, una probabilidad finita de que el campo electromagnético se encuentre en el estado sin fotones |0>. Cuando eliminamos un fotón, debido a la probabilidad distribuida del estado del campo EM tenemos una probabilidad finita de reducir el número de fotones en cualquier estado numérico, incluyendo el estado con cero fotones. Si resulta que el campo EM no tiene fotones, no pasa nada, no obtenemos un fotón y esto no es un problema: el número esperado de fotones en el estado se sigue reduciendo en uno debido a la probabilidad distribuida de la población en estados con número de fotones mayor que cero. Por lo tanto, no hay ninguna razón por la que el estado resultante no pueda tener una distribución de probabilidad continua aunque corresponda a un fotón menos, es decir, el estado debería ser un estado propio del operador de aniquilación. Sin embargo, si se intenta añadir un fotón a dicho estado, será imposible que altere o contribuya a la probabilidad del estado propio |0> y, por tanto, será imposible, pero añadiendo un fotón, reconstruir la distribución de probabilidad de la que partimos, es decir, el estado que buscamos no es un estado propio del operador de creación.