Resuelva $\operatorname{Arg} (z-2) - \operatorname{Arg} (z+2) = \frac{\pi}{6}$

Question

Estoy tratando de resolver $$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$ para $z \in \mathbb{C}$ .

Sé que $$\operatorname{Arg} z_1 - \operatorname{Arg} z_2 = \operatorname{Arg} \frac{z_1}{z_2},$$ pero eso sólo es válido cuando $\operatorname{Arg} z_1 - \operatorname{Arg} z_2 \in (-\pi,\pi]$ así que no estoy seguro de cómo empezar a resolver esto.

No estoy familiarizado con la aritmética modular, así que si es posible resolver esto sin usarla, ¡sería genial! (no sé si es necesario para resolver esto en primer lugar)

Gracias de antemano.

Answer 1

Te sugiero que dibujes una figura.

En $z$ se encuentra en el plano medio inferior ${\rm Im}(z)<0$ entonces $$-\pi<\arg(z-2)-\arg(z+2)<0\ .$$ De ello se deduce que no hay puntos en el semiplano inferior que cumplan tu condición.

Consideremos ahora un punto $z$ en el plano medio superior $H:\ {\rm Im}(z)>0$ . Entonces $$0<\arg(z-2)-\arg(z+2)<\pi\ .$$ La condición $$\arg(z-2)-\arg(z+2)={\pi\over 6}$$ significa que los dos segmentos que conectan $z$ con los puntos $2$ et $-2$ encierran un ángulo de ${\pi\over 6}$ . El conjunto de $z$ cumpliendo esta condición es, según el teorema sobre los ángulos periféricos (resp., su inversa), un arco de círculo $\gamma$ . El punto medio $M$ de $\gamma$ se encuentra en el eje imaginario de forma que $\angle(2,M,-2)={\pi\over3}$ . De ello se deduce que $M=2\sqrt{3}i$ y el radio de $\gamma$ es obviamente $4$ . La ecuación de este círculo $\gamma$ es $$|z-2\sqrt{3}i|^2=16\ ,$$ y el conjunto $S$ que le interesa es $\gamma\cap H$ . Se podría proporcionar una representación paramétrica de $S$ como sigue: $$S=\left\{z=2\sqrt{3}i+4e^{it}\>\biggm|\>-{\pi\over3}<t<{4\pi\over3}\right\}\ .$$

Answer 2

Piensa en el significado geométrico de la diferencia entre los argumentos de dos números complejos. Luego piensa en qué lugar del plano $z-2$ et $z+2$ debe mentir para satisfacer su ecuación.

Answer 3

Utilizando este et este ,

si $z=x+iy,$

Caso $1:$ Si $x>2,\text{Arg}(z-2)=\arctan \frac y{x-2}$ et $\text{Arg}(z+2)=\arctan \frac y{x+2}$

Caso $2:$ Si $x=2,\text{Arg}(z-2)=\text{sign}(y)\cdot\frac\pi2($ si $y\ne0)$ et $\text{Arg}(z+2)=\arctan \frac y{x+2}$

Caso $3:$ Si $-2<x<2,$

$\text{Arg}(z-2)= \begin{cases} \arctan \frac y{x-2}+\pi &\mbox{if } y\ge0 \\ \arctan \frac y{x-2}-\pi & \mbox{if } y<0\end{cases}$ et $\text{Arg}(z+2)=\arctan \frac y{x+2}$

Caso $4:$ Si $x=-2,$

$\text{Arg}(z-2)= \begin{cases} \arctan \frac y{x-2}+\pi &\mbox{if } y\ge0 \\ \arctan \frac y{x-2}-\pi & \mbox{if } y<0\end{cases}$ et $\text{Arg}(z+2)=\text{sign}(y)\cdot\frac\pi2($ si $y\ne0)$

Caso $5:$ Si $x<-2,$

$\text{Arg}(z-2)= \begin{cases} \arctan \frac y{x-2}+\pi &\mbox{if } y\ge0 \\ \arctan \frac y{x-2}-\pi & \mbox{if } y<0\end{cases}$ et $\text{Arg}(z+2)= \begin{cases} \arctan \frac y{x+2}+\pi &\mbox{if } y\ge0 \\ \arctan \frac y{x+2}-\pi & \mbox{if } y<0\end{cases}$

¿Ahora puedes tratar el problema caso por caso?

Answer 4

Se trata de una forma de proceder que depende de las características especiales del problema concreto, por lo que no es realmente general.

Construir un triángulo equilátero sobre el segmento de recta comprendido entre $z-2$ et $z+2$ eligiendo aquella en la que el tercer vértice $V$ está más cerca del origen. Entonces, dado el ángulo subtendido en el origen, $V$ está en el centro de una circunferencia que pasa por los tres puntos $0$ , $z-2$ et $z+2$ (el ángulo en el centro es el doble del ángulo en la circunferencia).

El radio del círculo es 4 (ya que forma el lado de un triángulo equilátero con un segmento de longitud 4). Entonces se tiene el punto $V$ en el círculo radio 4 centro origen. El punto medio del segmento (es decir, el punto $z$ ) está verticalmente por encima o verticalmente por debajo (el caso depende de qué lado del $x$ -nos encontramos), y todo lo que se necesita para calcular las coordenadas utilizando la simple geometría del triángulo equilátero.

Ahora ten cuidado de identificar el signo de la diferencia de ángulos para que la diferencia salga como $\frac{\pi}6$ en lugar de $-\frac{\pi}6$ y evitar los casos en los que el ángulo se convierte en $2\pi \pm \frac {\pi}6$ .