Cómo probar$x^ax^b = x^{a+b}$

Question

Estoy buscando una prueba de una de las leyes de combinación exponente, es decir, la suma de las potencias. Aquí $x, a, b \in \mathbb R$ y $x > 0$. Pensé acerca de inducción pero desde a, b no son sólo enteros positivos ($a, b \in \mathbb R$) que no funcionaría hacia fuera. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Basta para probarlo para $x=e$ porque entonces $x^ax^b=e^{a\ln x}e^{b\ln x}=e^{(a+b)\ln x}=x^{a+b}$.

$$e^ae^b=\sum_{n=0}^\infty\frac{a^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{b^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\frac{b^{n-k}}{(n-k)!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{n!}\binom nk a^kb^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(a+b)^n}{n!}=e^{a+b}$ $ Aquí utilizamos la fórmula de producto de Cauchy, la serie converge absolutamente.