Secciones mundiales de gavilla y doble

Question

Tal vez esto es bien conocido, pero supongamos que usted tiene una invertible gavilla $\mathcal{L}$ en un esquema de $X$. Si $X$ es un espacio proyectivo (o incluso proyectiva paquete a través de un esquema integral, por un argumento similar...creo), entonces si $H^0(X, \mathcal{L})\neq 0$ $H^0(X, \mathcal{L}^\vee)\neq 0$ tenemos que $\mathcal{L}\simeq \mathcal{O}_X$. Esto es muy simple debido a que $\mathcal{L}\simeq \mathcal{O}_X(n)$, con lo que consigue que las dos hipótesis media de$n\geq 0$$n\leq 0$, lo $n=0$.

Mi conjetura es que esto debe ser cierto en general. Hay condiciones en $X$ de manera tal que cualquier invertible gavilla con la propiedad de que tener no trivial global de las secciones de ambos y su doble implica es trivial?

Answer 1

En general, esta falla. Tome $X = \mathrm{Spec}A$ $A$ un dominio de Dedekind. A continuación, la línea de paquetes corresponden a las clases de equivalencia de divisores de Weil. Una línea de paquete corresponde a algunos formal suma $\sum n_i \mathfrak{p}_i$. Pero siempre se puede encontrar algo en $A$ cuyo divisor es más grande que este (tomar sólo es altamente divisible por los números primos). Por lo que cualquier línea de haz de satisfacer a su condición, pero si $A$ no es un UFD no va a ser necesariamente trivial: el grupo de Picard es el grupo de clases de $A$. (Consulte el apartado 8.2 de http://people.fas.harvard.edu/~amathew/CRing.pdf para una explicación de este isomorfismo y una discusión general de la línea de paquetes sobre afín esquemas.)

Esto es cierto para $X$ integral adecuado esquema de más de un algebraicamente cerrado campo de $k$. (En Mumford del Abelian Variedades.). Usted no necesita el isomorfismo de la Picard grupo con $\mathbb{Z}$ que es sólo de todos modos cierto cuando $X$ es todo el espacio proyectivo.

Supongamos $\mathcal{L}$ es una línea de paquete. Entonces no es un cero de morfismos $\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}$ y un valor distinto de cero de morfismos $\mathcal{L} \to \mathcal{O}_X$. Esto es lo que significa para el espacio global de las secciones de $\mathcal{L}$ y su doble para no desaparecer. Así que tenemos una composición $$\mathcal{L} \to \mathcal{L},$$ el cual es dado por un global de regular la función que no puede ser cero (ya que no es cero en el punto genérico). Esto es necesariamente un elemento del campo $k$, por lo que un isomorfismo de la línea de paquetes. Del mismo modo la composición de la $\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ es un isomorfismo. (Supongo que la propiedad clave aquí es que un valor distinto de cero endomorfismo de una línea de paquete es un isomorfismo, y este a su vez es claro a partir de $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k$, que es una consecuencia del propio.) De ello se desprende que $\mathcal{L} \to \mathcal{O}_X$ es un isomorfismo y $\mathcal{L}$ es trivial.

Esto realmente no necesita $k $ a ser algebraicamente cerrado (aunque, a continuación, $X$ geométricamente integral sobre la $k$ sería necesario para hacer que el argumento de la obra, a menos que me estoy perdiendo algo).

Esto es falso, sin integralidad hipótesis. (Tomar una desconectado esquema, y una línea de paquete de trivial en una sola pieza, pero no en el otro.)