¿Por qué ' t L ' Hopital ' s de trabajo la regla en este caso?

Question

Tengo una pregunta muy simple. Supongamos que queremos evaluar este límite:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{x-\sin x}$$

Es fácil evaluar este límite usando el teorema del sándwich (la respuesta es $1$). Pero aquí, tanto en el numerador y el denominador se va a infinito como $x\to \infty$, por lo que he intentado utilizar la regla de L'Hospital de: $$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{x-\sin x}=\lim_{x\to \infty} \frac{1}{1-\cos x}$$

Sin embargo no hay finito $L$ tal que $$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{1-\cos x}=L$$ lo cual es una contradicción. No entiendo por qué en este caso de L'Hospital de la regla no funciona. Tanto en el numerador y el denominador son diferenciable en todas partes, y ambas están tendiendo a infinito - que es todo lo que necesitamos para usar esta regla.

Answer 1

Un requisito en la regla de l ' hospital que está en orden para aplicar, el límite $$ \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$ debe existir (pero debe ser $\pm \infty$). En este caso, el límite no existe, por lo que no se aplica.

Answer 2

Otra condición, a menudo olvidado, es en algún barrio de $a$ (aquí $a=+\infty$), excepto quizás en $a$, $g'(x)\neq 0$. Este no es el caso aquí: es el $1-\cos x$ $0$ infinitamente muchas veces.

Este es un buen ejemplo de por qué la regla de L'Hospital es peligrosa. Una de las primeras cosas que aprendí cuando era un estudiante es: ' evitarlo. Cuando funciona, Taylor del polinomio en orden 1 obras así.'

Aquí, la forma más sencilla es a través de equivalentes: $\,x-\sin x\sim_\infty x$, por lo tanto, $$\frac x{x-\sin x}\sim_\infty \frac xx=1.$ $

Answer 3

No hay ninguna contradicción; Hospital dice que si $$\lim \frac {f'(x)}{g'(x)}$$ exists, then it is equal to $\lim \frac{f(x)}{g(x)} $.

En este caso el límite no existe, por lo que nada puede ser deducido.

Por supuesto también significa que Hopital es inútil en este caso, pero hopital es apenas la herramienta más importante para resolver límites de todos modos, y hay muchos otros casos donde es inútil :)

Answer 4

Creo que has perdido una de las hipótesis más importantes necesarias para utilizar la regla de L'hopital.

Es decir, la existencia de $\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Si existe este límite $L$, entonces podrá decir que $\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L$.

Sin embargo, la existencia del límite del cociente de dos funciones de ninguna manera implica la existencia del límite del cociente de sus derivados.