¿Qué hace el ACP con los datos autocorrelacionados?

Question

Sólo porque algún corresponsal planteó una pregunta interesante sobre los métodos de cálculo de la autocorrelación, me puse a jugar con ella, casi sin ningún conocimiento sobre series temporales y autocorrelación.

El corresponsal organizó sus datos ( $32$ puntos de datos de una serie temporal) desplazados por un desfase temporal cada uno de ellos, de modo que tenía una matriz de $32\times32$ datos (según le entendí) donde la primera fila son los datos originales, la segunda fila los datos desplazados por $1$ unidad de tiempo, la siguiente fila por otra y así sucesivamente. Realicé esto adicionalmente pegando el extremo a la cola, haciendo así conjuntos de datos "circulares".

Luego, sólo para ver qué puede salir de ahí, calculé la matriz de correlaciones y a partir de ella los componentes principales. Sorprendentemente obtuve la imagen de una frecuencia-descomposición, y (de nuevo con otros datos) una frecuencia, digamos que con un período en el $32$ datos estaba en el primer componente principal, y el que tenía cuatro períodos estaba en el segundo PC y así sucesivamente (obtuve $6$ PC's "relevantes" con valor propio $>1$ ). Primero pensé que esto depende de los datos de entrada, pero ahora asumo que es sistemáticamente así por la construcción especial del conjunto de datos con sus desplazamientos circulares (también conocido como matriz "Toeplitz"). Las rotaciones de la solución PC a varimax u otros criterios de rotación dieron resultados ligeramente diferentes, y posiblemente interesantes, pero en general parecen proporcionar tal descomposición de la frecuencia.

Aquí hay un enlace a fotos que he hecho de la $32$ -Las curvas se hacen simplemente a partir de las cargas de la matriz de datos: una curva es la carga de un factor. La curva de la primera PC1 debería mostrar las mayores amplitudes (aproximadamente porque lleva la mayor suma de cuadrados de carga)

Preguntas:

• P1: ¿Es una característica por diseño? (de PCA con este tipo de conjunto de datos)
• P2: ¿Este enfoque es realmente utilizable de alguna manera para una aproximación seria al análisis de frecuencia/longitud de onda?

[actualización] aquí está el conjunto de datos (espero que salga copiable para usted)

-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4
-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5
-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3
0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1
2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0
4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2
6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4
5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6
3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5
1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3
1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1
0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1
-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0
-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2
-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3
0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1
3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0
5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3
7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5
6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7
7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6
5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7
4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5
3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4
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3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2
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4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5
3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4
2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3
3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2
4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3

Answer 1

Permítame convertir mi comentario anterior en una respuesta.

¿Imagina que las filas de su matriz de datos son las variables o las muestras? Voy a suponer que son las muestras: es decir, tienes $n=32$ diferentes series temporales (muestras).

Entonces, si todos los $n=32$ filas son idénticas, pero sólo desplazadas circularmente por $1$ posición cada uno, entonces el $n\times n$ La matriz Gram de sus datos, que consiste en productos de puntos entre todos los pares de filas, tendrá una estructura Toeplitz: valores altos cerca de la diagonal y que disminuyen gradualmente hasta llegar a valores cero lejos de ella. Las matrices de Toeplitz tienen modos de Fourier consecutivos como sus vectores propios (y los vectores propios de la matriz de Gram son componentes principales, hasta la escala), por lo que sí a su Q1: no es de extrañar que obtenga ondas sinusoidales de frecuencias crecientes como PC.

Ni idea de si puede ser útil (Q2). En mi experiencia, tiende a aparecer como un artefacto molesto. Es decir, la gente tiene algunos datos, obtiene algo parecido a los modos de Fourier a partir del PCA y empieza a preguntarse qué podrían significar, cuando simplemente se deben a algunos desplazamientos temporales en la serie temporal original.