¿Dónde está el error en mi integración de $\sin^{2n}(\theta)$?

Question

Nota: es más probable en pasos $3-6$.

$1.$ Derivar una fórmula útil: $$-i e^{i2\theta}+i=-i \cos(2 \theta)+\sin (2 \theta)+i=2 \sin(\theta) \cos (\theta)+i(1-\cos (2 \theta))$ $ $$=2 \sin (\theta)\cos(\theta)+i 2\sin^2 (\theta)=2 \sin (\theta)(\cos(\theta)+i \sin (\theta))=2 \sin (\theta) e^{i \theta}$ $

$2.$ Ahora, exponentiating $2n$:

$$2^{2n} \sin^{2n} (\theta) e^{i 2n \theta}=i^{2n}(- e^{i2\theta}+1)^{2n}$$ $$=\sum_{k=0}^{n}\binom{\color{red}{2n-k}}{k} (i)^{2n} (-1)^k e^{ik2\theta}$$

$3$. Dividiendo por $e^{i2n \theta}$ (como no $=0$): $$2^{2n} \sin^{2n}(\theta)=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n-k}{k}(-1)^k(i)^{2n} e^{i(k-n)2\theta}$ $

$4.$ Ahora, a la integral: $$\int_{0}^{\pi}\sin^{2n}(\theta) d \theta=\frac{(i)^{2n}}{2^{2n}} \int_{0}^{\pi} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n-k}{k} (-1)^k e^{i(k-n)2\theta}d \theta$$ $5.$ tenga en cuenta que %#% $ #%

$$\int_{0}^{\pi}e^{iN2 \theta}d \theta=0 \text{ (if N }(\in \mathbb{Z}) \ne 0)$ Tan sólo $6.$ aporta un valor distinto de cero al integral: $k=n$ $ $$\int_{0}^{\pi}\sin^{2n}(\theta) d \theta=\frac{(-1)^n(i)^{2n}}{2^{2n}} \int_{0}^{\pi} \binom{2n-n}{n} e^{i(n-n)2\theta}d \theta$ $

¿Dónde he ido mal?

Answer 1

$$\begin{align} \sin^{2n}(\theta) &=\left(\frac1{2i}\right)^{2n}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^{2n}\\ &=\left(-\frac14\right)^n\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}e^{i(2n-k)\theta}e^{-ik\theta}(-1)^k\\ &=\left(\frac14\right)^n\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}e^{i(2n-2k)\theta}(-1)^{n-k} \end {Alinee el} $$ como dices, el único término que contribuye es $n=k$, por lo que la integral es de $$ \frac\pi{4^n}\binom{2n}{n} $$