Antecedentes del problema (no es demasiado importante):
Mi propuesta de solución:
El elemento infinitamente largo,
por muy compleja que sea, puede representarse como una única resistencia $R$ . Recordando la resistencia inicial cerca de $A$ Sabemos que $R_{AB}= r+R$ . Sin embargo, al tratarse de un elemento de longitud infinita, equivale a una resistencia de $R$ unido a la derecha de dos resistencias de resistencia $r$ (la resistencia $R$ es una propiedad intrínseca del elemento, por lo que no le afecta el hecho de que cuanto más a la derecha esté, menor será la corriente que lo atraviese).
Así, tomando $R$ en serie con $r$ y el resultado en paralelo con $r$ y luego en serie con $r$ : $$R_{AB}= r + \left (\frac{1}{\frac{1}{R+r}+\frac{1}{r}} \right )$$
En la segunda iteración (moviendo $R$ más a la derecha):
$$R_{AB}= r+ \frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{r + \left (\frac{1}{\frac{1}{R+r}+\frac{1}{r}} \right )}}$$
Ad infinitum.
Entiendo que puede no ser la solución más rápida, pero no obstante me gustaría saber un poco más al respecto.
Las matemáticas
$$u_{1}=r+R$$
$$\large u_{n+1}=r+\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{u_n}}$$
En $\lim_{n \rightarrow \infty} (u_n)$ existen (importante: ¿es el límite una función de $R$ ?), y, si es así, ¿de qué se trata?
Primeros casos
$$u_{2}=\frac{3r^2+2rR}{R+2r}$$
$$u_{3}=\frac{8r^2+5rR}{3R+5r}$$
$$u_{4}=\frac{21r^2+13rR}{8R+13r}$$
$$u_{4}=\frac{55r^2+34rR}{21R+34r}$$
$$\lim _{n \rightarrow \infty} (u_n)\stackrel{?}{=}\varphi r$$
Parece el hacer de Fibonnaci. ¿Cómo se toma el límite de esto (supongo que requiere el conocimiento de la forma de $f(n)=F_n$ ).
Intuitivamente, ¿por qué aparece aquí Fibonnaci? ¿Cuáles son los conejos en este caso?