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El límite de una relación de recurrencia (con resistencias)

Antecedentes del problema (no es demasiado importante):

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Mi propuesta de solución:

El elemento infinitamente largo,

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por muy compleja que sea, puede representarse como una única resistencia $R$ . Recordando la resistencia inicial cerca de $A$ Sabemos que $R_{AB}= r+R$ . Sin embargo, al tratarse de un elemento de longitud infinita, equivale a una resistencia de $R$ unido a la derecha de dos resistencias de resistencia $r$ (la resistencia $R$ es una propiedad intrínseca del elemento, por lo que no le afecta el hecho de que cuanto más a la derecha esté, menor será la corriente que lo atraviese).

Así, tomando $R$ en serie con $r$ y el resultado en paralelo con $r$ y luego en serie con $r$ : $$R_{AB}= r + \left (\frac{1}{\frac{1}{R+r}+\frac{1}{r}} \right )$$

En la segunda iteración (moviendo $R$ más a la derecha):

$$R_{AB}= r+ \frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{r + \left (\frac{1}{\frac{1}{R+r}+\frac{1}{r}} \right )}}$$

Ad infinitum.

Entiendo que puede no ser la solución más rápida, pero no obstante me gustaría saber un poco más al respecto.

Las matemáticas

$$u_{1}=r+R$$

$$\large u_{n+1}=r+\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{u_n}}$$

En $\lim_{n \rightarrow \infty} (u_n)$ existen (importante: ¿es el límite una función de $R$ ?), y, si es así, ¿de qué se trata?

Primeros casos

$$u_{2}=\frac{3r^2+2rR}{R+2r}$$

$$u_{3}=\frac{8r^2+5rR}{3R+5r}$$

$$u_{4}=\frac{21r^2+13rR}{8R+13r}$$

$$u_{4}=\frac{55r^2+34rR}{21R+34r}$$

$$\lim _{n \rightarrow \infty} (u_n)\stackrel{?}{=}\varphi r$$

Parece el hacer de Fibonnaci. ¿Cómo se toma el límite de esto (supongo que requiere el conocimiento de la forma de $f(n)=F_n$ ).

Intuitivamente, ¿por qué aparece aquí Fibonnaci? ¿Cuáles son los conejos en este caso?

Enlace al cálculo de Wolfram .

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Alex Bolotov Puntos 249

Si miras $x_n = \dfrac{u_n}{r}$ ves que

$$ x_{n+1} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x_n}}$$

Esto es básicamente una recurrencia para la fracción continua de la proporción áurea $\varphi = [1;1,1,\dots]$ .

Así, es cierto que $u_n \to r\varphi$

Esto también explica por qué se ven los números de Fibonacci. Los convergentes de la fracción continua son cocientes de números de Fibonacci.

2voto

Sarah Thomas Puntos 148

No me atreví a mirar esto antes, pero aquí hay otra solución (transcrita) (prefiero la de Aryabhata):

Algebraicamente esta equivalencia se puede escribir como $$R_{AB}=r+\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{R_{AB}}}$$ Así, $$R_{AB}^2-rR_{AB}-r^2=0$$ Esta ecuación tiene dos soluciones: $$R_{AB}=\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{5})r$$ La solución correspondiente a "-" en la fórmula anterior es negativa, mientras que la resistencia debe ser positiva. Por lo tanto, la rechazamos. Finalmente recibimos

$$R_{AB}=\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})r= \varphi r$$

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