Sobre los generadores del Grupo Modular

Question

El grupo modular es el grupo $G$ que consiste en todas las transformaciones lineales fraccionarias $\phi$ de la forma $$\phi(z)=\frac{az+b}{cz+d}$$ donde $a,b,c,d$ son números enteros y $ad-bc=1$ . He leído que $G$ es generado por las transformaciones $\tau(z)=z+1$ y $\sigma(z)=-1/z$ . ¿Existe una forma fácil de demostrarlo? En particular, ¿hay alguna prueba que utilice la relación entre las transformaciones lineales fraccionarias y las matrices? Cualquier buena referencia sería útil.

Gracias, Malik

Answer 1

Sí; esta afirmación es esencialmente equivalente al algoritmo euclidiano. Discuto estas cuestiones en esta antigua entrada del blog . (Un resumen muy breve: aplicando los generadores y los inversos a un elemento arbitrario del grupo modular es posible realizar el algoritmo euclidiano sobre $a$ y $c$ (o tal vez sea $a$ y $b$ ). El resto es trabajo de caja). Se puede pensar en esto como una forma de reducción de filas, que se generaliza con la noción de Forma normal de Smith .

También existe una demostración geométrica utilizando la acción en el semiplano superior que se da, por ejemplo, en la sección correspondiente de la obra de Serre Curso de Aritmética.