$(\mathbb R, \oplus)$ es un grupo. Definir una multiplicación con el que conseguimos un campo. Donde $a \oplus b = a + b +1$

Question

Tengo este problema del libro Análisis de Miklos Laczkovich (% de p. $35$):

Que $\oplus : \mathbb R \times \mathbb R\to \mathbb R $, donde $(a,b) \mapsto a + b +1$. $(\mathbb R, \oplus)$ Es un grupo. Definir una multiplicación con el que conseguimos un campo.

Pero en el ejercicio sin pistas. ¿Alguien me podría ayudar?

Answer 1

El enfoque más sencillo para resolver este problema es probar $(\mathbb{R}, \oplus) \cong (\mathbb{R}, +)$. Una vez que hayas hecho esto, puede utilizar el isomorfismo para definir $\otimes$ $\times$.

Answer 2

Vamos a empezar por darse cuenta de que $$(a-1)\oplus(b-1)=(a-1)+(b-1)+1=(a+b)-1.$$ Esto significa que $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ definido por $f(x)=x-1$ es un grupo de isomorfismo entre el$(\mathbb R,+)$$(\mathbb R,\oplus)$. (El mapa de $f$ es bijection y cumple con $f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$.) Y a la inversa $g(x)=x+1$ es un isomorfismo $(\mathbb R,\oplus)$$(\mathbb R,+)$.

Tuve un breve vistazo en el libro mencionado en la pregunta, parece que la noción de grupo y de la noción de isomorfismo no es introducido en el libro en este momento. (Por supuesto, yo podría haber perdido.) Pero la intuición básica se puede explicar en pocas palabras. Básicamente estamos diciendo que después de "cambio de nombre" los objetos de las dos estructuras de $(\mathbb R,+)$ $(\mathbb R,\oplus)$ son los mismos.

Note que esta parte de Cayley tabla mostrando los resultados de la operación. (Por supuesto, ya que estamos trabajando con un conjunto infinito, no podemos poner el conjunto total $\mathbb R$ a de un número finito de la tabla.)

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{c|ccccc} + &-2 &-1 & 0 & 1 & 2 \\\hline -2 &-4 &-3 &-2 &-1 & 0 \\ -1 &-3 &-2 &-1 & 0 & 1 \\ 0 &-2 &-1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 &-1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} y \begin{array}{c|ccccc} \oplus &-3 &-2 &-1 & 0 & 1 \\\hline -3 &-5 &-4 &-3 &-2 &-1 \\ -2 &-4 &-3 &-2 &-1 & 0 \\ -1 &-3 &-2 &-1 & 0 & 1 \\ 0 &-2 &-1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 &-1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \end{array} $$ Usted puede ver que si se sustituye en la primera tabla, cada aparición de $-4$$-5$, y del mismo modo $-3\mapsto-4$, $-2\mapsto-3$, $-1\mapsto-2$, etc., a continuación, llegamos a la segunda tabla.

En este sentido, las dos operaciones son "el mismo", simplemente "el nombre de" los elementos. (E $x\mapsto x-1$ es el diccionario).

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Ahora sabemos que $(\mathbb R,+,\cdot)$ es un campo. También sabemos que el uso de "cambio de nombre" $f\colon x\mapsto x-1$ crea $\oplus$$+$. ¿Qué sucede si aplicamos lo mismo a la usual de la multiplicación $\cdot$? $$a\odot b = (a+1)\cdot(b+1)-1=ab+a+b$$ o $$a\odot b +1 = (a+1)\cdot(b+1) +1.$$ Por lo tanto, $a\odot b=ab+a+b$ parece un candidato natural para la multiplicación. (Aviso que he usado la inversa de asignación de $x\mapsto x+1$.)

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Esto se puede formular un poco más simple en el caso de que usted ya está familiarizado con la noción de grupo de isomorfismo y campo de isomorfismo. He publicado un poco más de respuesta larga a propósito. (Yo no estaba seguro de si el OP está familiarizado con estos conceptos. Y para los lectores que ya están familiarizados con ellos, ya hay una respuesta más breve. Tal vez esta respuesta larga podría ser útil para algunas personas leyendo esta pregunta, también.)

Voy a añadir el enlace a este post, que también podría ayudar a ganar un poco de perspectiva: la Intuición en grupo homomorphisms.

Y también voy a añadir otro enlace a un post donde al menos algunos de los de campo axiomas de $(\mathbb R,\oplus,\odot)$ verificado: Probar que R es un anillo bajo "especial" definiciones de la multiplicación y la suma.

Answer 3

Si consideras que $a\otimes b= ab+a+b$. Está claro que es una operación conmutativa debido a la estructura. Observe:

$$(a\otimes b) \oplus (a\otimes c)= (ab+a+b)\oplus (ac+a+c)=(ab+a+b)+(ac+a+c)+1$ $ $$=a(b+c)+2a+b+c+1$ $ Que es igual a $$a\otimes(b\oplus c)=a\otimes(b+c+1)=a(b+c+1)+a+(b+c+1)$ $ $$=a(b+c)+2a+b+c+1$ $

Por último ver que $$a\otimes(b\otimes c)=a\otimes (bc+b+c)=a(bc+b+c)+a+(bc+b+c)$ $ $$=abc+ab+ac+bc+a+b+c$ $ y $$(a\otimes b)\otimes c=(ab+a+b)\otimes c=(ab+a+b)c+(ab+a+b)+c$ $ $$=abc+ab+ac+bc+a+b+c$ $

Answer 4

% Toque $ $cualquier biyección set $\,h\,:\,R'\to R\,$ sirve para transporte la estructura (anillo) de $\,(R,+,*,0,1),$ $\,(R',\oplus,\otimes,0',1') \,$ definiendo las operaciones en $\,R'\,$ $\,h\,$ para ser un isomorfismo (anillo)

$$\begin{align} &a \oplus b\, =\ h^{-1}(h(a) + h(b)),\quad 0' = h^{-1}(0)\\ &a \otimes b\, =\, h^{-1}(h(a)\, * h(b)),\quad\, 1' = h^{-1}(1)\end {Alinee el} \qquad \qquad$$

Tuyo es el especial caso $\ h(x) = x+1.$