¿Cómo probarlo? (una de las identidades de Rogers-Ramanujan)

Question

Demuestre la siguiente identidad (una de las identidades de Rogers-Ramanujan) sobre las series de potencias formales interpretando cada lado como una función generadora de particiones:

$$1+\sum_{k\geq1}\frac{z^k}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^k)}=\prod_{k\geq1}\frac{1}{1-z^k}$$

Answer 1

Utilicemos la notación $[z^n] \sum_k a_k z^k$ para representar la operación de extracción $a_n$ los coeficientes de $z^n$ a partir de una serie formal de potencias $\sum_k a_k z^k$ .

Veamos los componentes en RHS de las identidades que queremos mostrar: $$1+\sum_{k\geq1}\frac{z^k}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^k)}=\prod_{k\geq1}\frac{1}{1-z^k}\tag{*}$$

Lo sabemos: $$[z^n]\frac{1}{1 - z^k} = \begin{cases}1,&k|n\\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}$$ Esto representa la tautología de que el número de formas de representar $n$ como un múltiplo de $k$ es $1$ si $k|n$ y $0$ de lo contrario. Del mismo modo, la expresión

$$[z^n]\left(\frac{1}{1-z^k}\frac{1}{1-z^l}\right)$$

es el número de formas de romper $n$ en 2 trozos desordenados, un trozo es un múltiplo de $k$ mientras que el otro es un múltiplo de $l$ . En general,

$$[z^n] \prod_{k\ge 1}\frac{1}{1-z^k}$$ es el número de formas de romper $n$ en suma de enteros $\ge 1$ . Una vez más, el orden del desglose no importa.

En el LHS de $(*)$ El $k$ -año:

$$[z^n]\frac{z^k}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^{k})}$$

es el número de formas de representar $n$ como suma de enteros positivos $\le k$ y el factor $z^k$ en el numerador limita la suma para utilizar el número entero $k$ al menos una vez, es decir, si $n = c_0 + c_1 + \cdots + c_r$ es un desglose de $n$ como suma de enteros $c_s \ge 1$ El $k$ corresponde a $\max( \{ c_1, \ldots c_r \} )$ , el máximo de enteros que aparecen en una avería.

El $\sum_{k}$ parte en el LHS de $(*)$ puede interpretarse ahora como una subsuma de RHS con respecto al máximo de enteros que aparecen en un desglose. El extra $1$ en el LHS se utiliza para cubrir el caso especial en el RHS donde $0$ se trata como una suma de números enteros positivos cero.

Answer 2

Que sea $$a_0=1,a_{k}=\frac{z^{k}}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-x^{k})},k>0$$ y $S_{k}=1+\sum_{i=1}^{k}a_i$ . Queremos demostrar que $$ S_{k}=\frac{1}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^{k})}.$$ $S_0=a_0=1$ y asumiendo que es cierto para $k=n$ tenemos $$ \begin{eqnarray} S_{n+1}&=&S_{n}+a_{n+1} \\ &=&\frac{1}{(1-z)\cdots(1-z^{n})}+\frac{z^{n+1}}{(1-z)\cdots(1-z^{n})(1-z^{n+1})} \\ &=&\frac{1-z^{n+1}}{(1-z)\cdots(1-z^{n})(1-z^{n+1})}+\frac{z^{n+1}}{(1-z)\cdots(1-z^{n})(1-z^{n+1})} \\ &=& \frac{1}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^{n+1})}, \end{eqnarray} $$ es decir, es cierto para $n=k+1$ . Así que es cierto para todos $k$ por inducción. En particular, los productos parciales son iguales a las sumas parciales, y $$ 1+\sum_{k>0}\frac{z^{k}}{(1-z)(1-z^2)\cdots(1-z^{k})}=\prod_{k>0}\frac{1}{1-z^{k}}. $$

Answer 3

Anotaciones: Sea $[n]=\{1,2,\ldots n\}$

$P(n)$ es el número de particiones de $n$ .

$P(k,[n])$ es el número de particiones de $k$ tomando valores de $[n]$ . por ejemplo- $P(n)=P(n,[n])$

Obsérvese que los coeficientes de $x^n$ en el lado izquierdo es $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}P(k,[n-k])$ Es bastante fácil que los coeficientes de $x^n$ en el lado derecho es $P(n)$ .

Estableceremos una biyección entre ellos.

Para algunos $m$ denotaremos cualquier partición $<\lambda_1,\lambda_2,\ldots \lambda_m>_n$ entre el conjunto de particiones de $n$ . Con $\lambda_i\le\lambda_j$ para todos $i\ge j$

Tome cualquier partición de este tipo $<\lambda_1,\lambda_2,\ldots \lambda_m>_k$ . Construir una nueva partición $<\lambda_1,\lambda_2,\ldots \lambda_m,\lambda_{m+1}=n-k>_n$ .

Afirmo construyendo nuevas particiones así a partir de todas las particiones de de cada $i$ , donde $i\in[n-1]$ obtenemos particiones únicas de $n$ .

Observación- Para el caso $k=0$ añadimos $n$ para obtener la partición trivial $<n>_n$ .

Por lo tanto, al contrario, suponga que algunas dos de las particiones construidas son iguales. Pero el elemento máximo es $n-k$ para alguna partición construida a partir de $k$ . Por lo tanto, las dos particiones construidas iguales deben ser de la misma $k$ .

Es bastante fácil demostrar que las particiones son iguales.

Ahora queda demostrar de la otra manera, es decir, demostrar que restando el elemento máximo obtenemos todas esas particiones. Lo que podemos hacer con un argumento muy similar.