En el % de ecuaciones factorial $A! B! =C!$y $A!B!C! = D!$

Question

Yo estaba jugando con el hipergeométrica probabilidades cuando yo hiero a mí mismo el cálculo del coeficiente binomial $\binom{10}{3}$. He utilizado la definición y el cálculo en mi cabeza, he simplificado a esta expresión, antes de que en realidad el cálculo de nada $$\frac {8\cdot9\cdot10}{2\cdot3} = 120$$ Y entonces me di cuenta de que $8\cdot9\cdot10 = 6!$ y empecé a pensar acerca de algo me siento como llamar generalizada factoriales, que es simplemente el producto de una serie de sucesivas naturales, como este $$una!b = \prod_{n=b}^ = \frac {!}{(b-1)!},\quad a, b \in \mathbb{Z}^+, \quad\ge b$$ de modo que $a! = a!1$ (la notación fue inventado sólo ahora, e inspirado por la $nCr$-notación para los coeficientes binomiales). Ahora, aparte de los ejemplos triviales $(n!)!(n!) = n!$$a!1 = a!2 = a!$, cuando es la generalización de la factorial de un número factorial? Cuando es el producto de los dos (no trivial) factorial de los números? Como se ha visto anteriormente, $10!8$ es tanto.

Answer 1

Ver a Chris Caldwell, el % de la ecuación del diophantine $A!B!=C!$, J. matemáticas recreativas. 26 (1994) 128-133. $9!=7!3!3!2!$, $10!=7!6!=7!5!3!$, y $16!=14!5!2!$ eran los únicos ejemplos conocidos no triviales de un factorial como el producto de factoriales a partir de la 3ª edición del chico, problemas sin resolver en teoría de números (problema B23).

Answer 2

Inmediatamente vemos que cualquier $n$ que es una potencia de 2 debería funcionar. por ejemplo,

$4! = 3!2!2!$, $8! = 7!2!2!2!$, $16! = 15!2!2!2!2!$

Del mismo modo, mediante la combinación de lo pequeño factoriales queremos, podemos tomar $n!$ $(n-1)!$ tener esa relación. Por ejemplo, supongamos que queremos usar $3!5!7! = 3628800$ en algún lugar; a continuación, podemos hacer $3628800! = 3628799!7!5!3!$. Usted, evidentemente, puede generar un número infinito de soluciones de esta manera.

Sin embargo, las instancias de $n!/(n-1)!$ son probablemente lo que Caldwell (ver respuesta) a que se refiere como "trivial". La no-triviales de $n!/(n-k)!$ estaría dada por

$n(n-1)(n-2) ... (n-k) = A_1!A_2!...A_i!$ que -- en general -- no conozco ninguna forma de abordar el caso general, pero en el caso de que $i=1$ (es decir, $n!=(n-k)!A!$) puede ser atacado:

$n(n-1)(n-2) ... (n-k) = P(n) = A!$

Lo que se conoce como un polinomio de la ecuación de diophantine. Esto es todavía muy abierto, pero tiene algunos resultados interesantes demostrado al respecto, a saber, que el conjunto de soluciones es finito para cualquier polinomio P. Un tratamiento extenso de la materia se da en http://www.ams.org/journals/tran/2006-358-04/S0002-9947-05-03780-3/S0002-9947-05-03780-3.pdf