La suma es $$\sum_{n>0}\frac{J_n^2(x)}{n}\sin\frac{2n\pi}{3}$$ he encontrado un hilo Infinito suma de Funciones de Bessel y un artículo de wiki aquí puede ser útil. Sin embargo, todavía no puedo entender esto. Ver también la descripción de la función de Bessel de primera especie en Mathworld, la ecuación 61-66 puede ser útil.
Respuesta
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Teorema de adición de Neumann está dada por\begin{align} J_{0}\left(\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos\phi}\ \right) = J_{0}(x) J_{0}(y) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{n}(x) J_{n}(y) \cos(n\phi). \end{align} dejando $y=x$ puede rápidamente ser sen que\begin{align} J_{0}\left(2 x \sin(\phi/2) \right) = J_{0}^{2}(x) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{n}^{2}(x) \cos(n\phi). \end {alinee el} integrar ambos lados con respecto a los $\phi$ para obtener la expresión\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \, J_{n}^{2}(x) \sin\left(\frac{2 n\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} \, J_{0}^{2}(x) + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi/3} J_{0}\left( 2 x \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\right) \, d\phi. \end {Alinee el}
