Inversas de elementos en álgebras grupales

Question

Si $G$ es un grupo finito cuyos elementos son de $g_1,\ldots,g_n$ y deje $F$ a ser el campo de los números reales $\mathbb{R}$ o en el campo de los números complejos $\mathbb{C}$. Podemos definir un espacio vectorial sobre $F$ $g_1,\ldots,g_n$ como base, y llamamos a este espacio vectorial $FG$, y todos los elementos en $FG$ tiene la forma $$\lambda_1g_1 + \cdots + \lambda_ng_n \quad(\text{all }\lambda_i \in F)$$

Ahora el espacio vectorial $FG$ es el grupo de álgebra de $G$$F$. Y se sabe también que el elemento de identidad en virtud de la multiplicación en la $FG$ $1e$ donde $1$ es la identidad en $F$ $e$ es el elemento de identidad en $G$.

Mi pregunta es: dado un elemento en el grupo de álgebra $FG$, podemos hallar la inversa de ese elemento (construir explícitamente)?

Por ejemplo, vamos a $$G = C_3 = \bigl\langle a: a^3 = 1 \bigr\rangle$$ be the cyclic group of order $3$, and let $F = \mathbb{R}$. Now let $u = a + a^2 \en FG$. Now I want to know what is the inverse of $u$, meaning that I want to find an element $v \FG$ such that $de los rayos uv =e =vu$. More formally, we need to find $$v= \lambda_1e + \lambda_2a + \lambda_3a^2$$ such that $uv=e=vu$, so I just multiply $$\begin{align*} uv &= (a + a^2)(\lambda_1e + \lambda_2a + \lambda_3a^2) \\ &= \lambda_1a + \lambda_2a^2 + \lambda_3e + \lambda_1a^2 + \lambda_2e + \lambda_3a \\ &= \lambda_1(a + a^2) + \lambda_2(a^2 +e) + \lambda_3(e + a) \end{align*}$$

Pero ahora, ¿cuál es el siguiente paso, necesito $e + e + e = e$ pero, ¿cómo puedo lograr esto ?

Answer 1

Tenga en cuenta que no todo elemento tiene inverso, ya que algunos son divisores de cero. Este elemento, sin embargo, no.

Tenga en cuenta que $$(a+a^2)^2=a^2+2a^3+a^4=a+a^2+2e$$ así $$(a+a^2)^2-(a+a^2)=2e$$ así $$(a+a^2)(1-(a+a^2))=2e$$ por lo tanto $$(a+a^2)\left(\frac{1}{2}(1-(a+a^2))\right)=e$$ así que la inversa es $$\frac{1}{2}(1-(a+a^2))$$

En general, a la izquierda de la multiplicación de un elemento $y=\sum_{g\in G}{a_gg}$ elemento $x=\sum_{h\in G}{b_hg}$ con desconocidos y los coeficientes de ajuste es igual a $1e$ se obtiene un sistema de ecuaciones, que podemos resolver por $b_h$ si el elemento es invertible. Tenemos $$\sum_{gh=g'}{a_gb_hg'}=1e$$ así que tenemos que resolver $$\sum_{gh=g'\neq e}{a_gb_h}=0$$ y $$\sum_{gh=e}{a_gb_h}=1$$ Si este sistema tiene una solución, entonces se $\sum_h{b_hh}$ es una izquierda inversa para $y$. Por la simetría de las funciones de $g$ $h$ en la suma, el elemento será también un derecho inversa.