Condición necesaria y suficiente para que una curva tenga una longitud infinita

Question

¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una curva tenga longitud infinita en un intervalo compacto? Digamos que la curva está restringida a$[0, 1]$. Recuerdo vagamente que está relacionada con la limitación de la variación total. He comprobado ya las respuestas aquí, pero están relacionados con ejemplos específicos.

Answer 1

Dada una función $$f:\quad [a,b]\to{\mathbb R}^n, \qquad t\mapsto f(t)\ ,$$ la variación total de $f$ $[a,b]$ está definido por $$V(f):=\sup_{\cal P}\sum_{k=1}^N|f(t_k)-f(t_{k-1})|\leq\infty\ ,\tag{1}$$ mediante el cual el $\sup$ varía a través de todas las particiones $${\cal P}:\qquad a=t_0<t_1<\ldots<t_N=b\ ,\qquad N=N_{\cal P}\ .$$ Si $V(f)<\infty$ la función de $f$ es llamado de variación acotada.

Considere ahora una curva $$\gamma:\quad [a,b]\to {\bf z}(t):=\bigl(x(t), y(t)\bigr)\tag{2}$$ en el plano. Entonces la longitud de la $L(\gamma)$ es, por definición, la variación total de la función con valores de vectores ${\bf z}(\cdot)$ se utiliza para la parametrización de $\gamma$: $$L(\gamma):=V({\bf z}(\cdot))\leq\infty\ .$$ Tenga en cuenta que para cualquier par de puntos ${\bf z}_0$, ${\bf z}_1$ uno tiene $$\max\{|x_1-x_0|,\>|y_1-y_0|\}\leq|{\bf z}_1-{\bf z}_0|\leq|x_1-x_0|+|y_1-y_0|\ .$$ De $(1)$ es entonces fácilmente se deduce que la función de ${\bf z}(\cdot)$ $(2)$ es de variación acotada iff tanto $x(\cdot)$ $y(\cdot)$ es de variación acotada.Esto permite concluir que un gráfico $$\gamma:\quad [a,b]\to{\mathbb R}^2,\qquad x\mapsto\bigl(x,f(x)\bigr)$$ tiene longitud finita iff $V(f)<\infty$, ya que la variación total de la primera coordenada es $=b-a<\infty$ en cualquier caso.

Answer 2

El total de la variación de una función derivable en a $[0,1]$ está dado por $$ \int_0^1\left|f'(x)\right|\mathrm{d}x =\int_0^1\sqrt{f'(x)^2}\,\mathrm{d}x $$ La longitud de la gráfica de una función derivable en a $[0,1]$ está dado por $$ \int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x $$ Además, el triángulo de la desigualdad nos dice que $$ \int_0^1\sqrt{f'(x)^2}\,\mathrm{d}x \le\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x \le1+\int_0^1\sqrt{f'(x)^2}\,\mathrm{d}x $$ Es decir, la longitud es finito si y sólo si la variación total es finito.

Answer 3

Una curva tiene longitud infinita en un intervalo de $[a, b]$ si la integral: $$ \int_a^b \sqrt{\left(1 + (f'(x))^2\right)}\mathrm{d}x$$ evalúa a $\infty$.

Aquí $f'(x)$ representa la derivada de la $f(x)$. Esto puede ser derivada de la siguiente manera.

Considere la posibilidad de una longitud de la curva de $\text ds$. Es la posición en la $XY$ plano es $(x,y)$. Entonces: $$\mathrm ds = \sqrt{(\mathrm dx)^2 + (\mathrm dy)^2}$$

donde $y=f(x)$. Como $\displaystyle \frac {\text dy}{\text dx} = f'(x)$, así: $\text dy = f'(x)\,\text dx$. Por lo tanto,

$$\large \int_0^s\text ds = s = \int_a^b\sqrt{\left(1 + (f'(x))^2\right)}\text dx$$

donde $s$ es la longitud total de la curva de $f(x)$ en el intervalo de $[a,b]$. Si $s\to\infty$, entonces la curva tiene longitud infinita en $[a,b]$.

Nota: tuve que ayudar a los de aquí. También, desde @Martin Sleziak comentario, esta técnica sólo funciona para funciones diferenciables.

Por favor me corrija si estoy equivocado. Espero que esto ayude!