Prueba combinatoria: $p^{r-n}$ divide $\binom{p^{r-2}}{n}$

Question

Sea $p$ sea un primo impar. Entonces si $1<n<r$ , $$p^{r-n}\,\left|\,\binom{p^{r-2}}{n}\right.$$ ¿Alguien tiene una prueba combinatoria inteligente de este hecho? Hay un argumento fácil contando múltiplos de $p$ (con multiplicidad) en el numerador y el denominador, pero parece un poco torpe, y este tipo de cosas deberían tener un argumento más elegante.

Este problema surge de forma natural al examinar la estructura de los grupos de la forma $(\mathbb{Z}/n)^*$ Por eso he planteado el problema anterior con lo que parece ser una hipótesis más fuerte de lo necesario y lo que sin duda es una conclusión más débil de lo necesario.

Answer 1

En primer lugar $n = mp^{k}$ con $p^k$ el más alto poder de $p$ dividiendo $n$ . Afirmo que $r-2-k \ge r-n$ . De hecho, este es el requisito que $n\ge 2+k$ . Esto puede demostrarse mediante inducción sobre $k$ partiendo del caso base de $k=1$ cuando $m=1$ y de $k=0$ cuando $m>1$ .

Sea $G = (\mathbb{Z}_p)^{r-2}$ y que $S$ denotan el conjunto de $n$ subconjuntos de elementos de $G$ . Entonces $|S| = {p^{r-2} \choose n}$ . Sea $G$ actuar $S$ por traducción. Es decir, para $s \in S$ , $s$ es un subconjunto $\{g_1,\dots,g_n\} \subseteq G$ . Definimos la acción de $g \in G$ por $gs = \{g+ g_1,\dots,g+g_n\}$ .

Para cualquier $s \in S$ el tamaño del estabilizador $G_s$ debe dividir $n$ . En efecto, puesto que $G_s s = s$ podemos pensar en $G_s$ como actuar en el plató $s = \{g_1,\dots,g_n\}$ por traducción. Dado que $G_s$ actúa libremente, vemos que $|G_s|$ divide $|s| = n$ . Además, puesto que $|G_s|$ debe dividir $|G| = p^{r-2}$ , $|G_s|$ debe ser una potencia de $p$ . Así que $|G_s|$ es una potencia de $p$ dividiendo $n=mp^k$ por lo que, de hecho, divide $p^k$ .

Ahora podemos observar el tamaño de las órbitas de $S$ utilizando el teorema del estabilizador orbital. Dado que el tamaño de cada estabilizador $G_s$ divide $p^k$ el tamaño de cada órbita debe ser múltiplo de $|G|/p^k = p^{r-2-k}$ . Desde $r-n \le r-2-k$ tenemos que $p^{r-n}$ divide el orden de cada órbita. $|S|$ es la unión de todas las órbitas, por lo que $p^{r-n}$ también debe dividir $|S| = {p^{r-2} \choose n}$ y la prueba está completa.

Answer 2

Hay un buen resultado de Kummer que dice que si $p^e$ es la mayor potencia del primo $p$ que divide $\dbinom{a}{b}$ entonces $e$ es igual a el número de transportes en la suma $b + (a-b) = a$ donde $b, a-b, a$ se escriben en base $p$ .

Así que en su caso me parece que sólo tiene que demostrar que $n < p^{n-1}$ (lo que garantiza que necesitará al menos $r - n$ lleva al hacer la suma $n + (p^{r-2} - n)$ en base $p$ ), y esto es válido para $n > 1$ y $p$ impar.