¿Pienso en una instantánea de un solo período de una función doblemente periódica como una ficha en forma de paralelogramo en una Teselación, tendría una función de un período que se repite como el panal o algunos otros teselación no rectangular?
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(muchas búsquedas bibliográficas y Mathematica experimentos más tarde...)
La costumbre Jacobi y de Weierstrass elíptica funciones tienen como "la repetición de la" unidad de un paralelogramo (que puede ser fabricado romboidal o plaza a través de decisiones apropiadas de parámetros). Se sabe que, aparte de los paralelogramos, hexágonos puede embaldosar el plano de la traducción; así que, ¿por qué no puede haber una doble función periódica que tiene un hexagonal de la unidad que se repite?
Resulta que A. C. Dixon (el hombre cuyo libro sobre funciones elípticas Hans vinculada a), en un tiempo de 1890(!) de papel, estudió una clase de funciones elípticas (ahora nombrado después de él), basado en la inversión de la Abelian integral
$$\int\frac{\mathrm dt}{\left(1-t^3\right)^{2/3}}=t {}_2 F_1\left({{\frac13\quad \frac23}\atop{\frac43}}\mid t^3\right)$$
donde ${}_2 F_1\left({{a\quad b}\atop{c}}\mid x\right)$ es una función hipergeométrica de Gauss.
Hay dos de estos Dixon elíptica funciones, $\mathrm{sm}(z,0)=\mathrm{sm}(z)$$\mathrm{cm}(z,0)=\mathrm{cm}(z)$, que corresponde a la habitual del seno y del coseno respectivamente. Ambas funciones tienen un periodo real $\pi_3=B\left(\frac13,\frac13\right)$ (donde $B(a,b)$ es la función beta) y un complejo período de $\pi_3\exp(2i\pi/3)$, y satisfacen las siguientes relaciones (reminiscencia de costumbre identidades trigonométricas):
$$\mathrm{sm}\left(\frac{\pi_3}{3}-z\right)=\mathrm{cm}(z)$$
$$\mathrm{sm}^3(z)+\mathrm{cm}^3(z)=1$$
$$\mathrm{sm}^\prime(z)=\mathrm{cm}^2(z)\quad \mathrm{cm}^\prime(z)=-\mathrm{sm}^2(z)$$
y, lo más relevante para los fines de esta cuestión, una invariancia rotacional:
$$\exp(-2i\pi/3)\mathrm{sm}(z\exp(2i\pi/3))=\mathrm{sm}(z)\quad \mathrm{cm}(z\exp(2i\pi/3))=\mathrm{cm}(z)$$
Las parcelas de los Dixon funciones en la recta real no se ven muy interesantes:
pero, como con las habituales funciones elípticas, la diversión comienza en el plano complejo:
Estos diagramas de contorno muestra claramente la estructura hexagonal de los Dixon funciones. Aquí es una sola "periodo fundamental hexágono" para $\mathrm{sm}(z)$:
Tenga en cuenta que una sección de la línea real (en las parcelas anteriormente, $\left(-\frac{\pi_3}3,\frac{2\pi_3}{3}\right)$) corresponde a un acorde de el período de hexágono.
Ambos Dixon elíptica funciones poseen tres polos (una vez que haya identificado el congruentes polos en el período de hexágono) y tres ceros dentro de la fundamental hexágono. Por supuesto, uno podría ir a la ruta habitual y considerar la "unidad repetitiva" de los Dixon función de ser un rombo; esto es equivalente, desde el rombo puede ser adecuadamente disecada en un hexágono regular, y vice-versa.
El Dixon elíptica funciones también se pueden expresar en términos de Weierstrass elíptica funciones:
$$\mathrm{sm}(z)=\frac{6\wp\left(z;0,\frac1{27}\right)}{1-3\wp^\prime\left(z;0,\frac1{27}\right)}$$
$$\mathrm{cm}(z)=\frac{3\wp^\prime\left(z;0,\frac1{27}\right)+1}{3\wp^\prime\left(z;0,\frac1{27}\right)-1}$$
(también hay expresiones de Dixon funciones en términos de Jacobi elíptica funciones, pero son bastante complicados.)
Por último, si usted está interesado en saber más acerca de los Dixon elíptica funciones (incluyendo la combinatoria de las aplicaciones), este trabajo es un buen punto de partida.
Un Mathematica notebook para aquellos interesados en explorar el tema más a fondo está disponible de mí, bajo petición.
Lars Truijens
Puntos
24005
No creo. Si hay exactamente dos períodos (no paralelas), entonces tenemos un paralelogramo, por lo que en tu caso debe ser al menos tres períodos independientes. Pero eso implica que la función es constante (o multi-valued), como por ejemplo en este viejo libro de Dixon en funciones elípticas (véase §32 en p. 19).
