Todos los matemáticos después de algún tiempo (y de ensayo y error, por supuesto) somos capaces de adivinar con razonable exactitud si una función dada es o no integrable elementalmente (haz la prueba: $$\int\frac1{x\sin\bigl(\frac1x\bigr)}\,dx\quad\style{font-family:inherit;}{\text{vs.}}\quad\int\frac1{x^2\sin\bigl(\frac1x\bigr)}\,dx\ ;$$
seguramente los lectores pueden dar ejemplos mucho más desafiantes e interesantes).
Me gustaría saber cuál es la obra más completa (encuesta, libro, lo que sea) que trate la teoría de la integración en términos elementales. Conozco el trabajo pionero de Liouville, así como el trabajo clásico de Rosenlicht, pero ¿qué más? ¿qué hay de permitir ciertas funciones "VIP" no elementales (función erf, por ejemplo)?
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Manuel Bronstein, Symbolic Integration, publicado por Springer en 2004, puede ser de utilidad.
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Se mencionan algunos buenos resultados recientes (con referencias) aquí .