Tratado sobre funciones integrables no elementales

Question

Todos los matemáticos después de algún tiempo (y de ensayo y error, por supuesto) somos capaces de adivinar con razonable exactitud si una función dada es o no integrable elementalmente (haz la prueba: $$\int\frac1{x\sin\bigl(\frac1x\bigr)}\,dx\quad\style{font-family:inherit;}{\text{vs.}}\quad\int\frac1{x^2\sin\bigl(\frac1x\bigr)}\,dx\ ;$$

seguramente los lectores pueden dar ejemplos mucho más desafiantes e interesantes).

Me gustaría saber cuál es la obra más completa (encuesta, libro, lo que sea) que trate la teoría de la integración en términos elementales. Conozco el trabajo pionero de Liouville, así como el trabajo clásico de Rosenlicht, pero ¿qué más? ¿qué hay de permitir ciertas funciones "VIP" no elementales (función erf, por ejemplo)?

Answer 1

Aquí está la lista de referencias que he visto sobre el tema de la integración elemental. Es ecléctica, y no pretende ser completa, pero contiene la mayoría de lo que parecen ser los puntos de referencia relevantes, y varios relatos expositivos con distintos grados de detalle. Lamentablemente, no conozco los trabajos originales de Liouville u Ostrowski. (Tal vez utilice esto como excusa para seguirles la pista).

1. MR0223346 (36 #6394) . Rosenlicht, Maxwell. Teorema de Liouville sobre funciones con integrales elementales . Pacific J. Math. 24 (1968), 153-161.

2. MR0237477 (38 #5759) . Risch, Robert H. El problema de la integración en términos finitos . Trans. Amer. Math. Soc. 139 (1969), 167-189.

3. MR0269635 (42 #4530) . Risch, Robert H. La solución del problema de integración en términos finitos . Bull. Amer. Math. Soc. 76 , (1970), 605-608.

4. MR0321914 (48 #279) . Rosenlicht, Maxwell. Integración en términos finitos . Amer. Math. Monthly 79 (1972), 963-972.

5. MR0409427 (53 #13182) . Risch, Robert H. Integrales implícitas elementales. Proc. Amer. Math. Soc. 57 (1) , (1976), 1-7.

6. MR0536040 (81b:12029) . Risch, Robert H. Propiedades algebraicas de las funciones elementales del análisis . Amer. J. Math. 101 (4) , (1979), 743-759.

7. MR0815235 (87a:12009) . Richtmyer, R. D. Integración en términos finitos: un método para determinar campos regulares para el algoritmo de Risch . Lett. Math. Phys. 10 (2-3) , (1985), 135-141.

8. Matthew P Wiener. Integración elemental y $x^x$ . Ciencia y Matemáticas Correo electrónico: . 21 de febrero de 1995. (La versión en pdf fue escrita por Apollo Hogan ).

9. Manuel Bronstein. Tutorial de integración simbólica . "Notas del curso de un tutorial del ISSAC (Simposio Internacional de Computación Simbólica y Algebraica) '98".

10. MR1960772 (2004c:12010) . Van der Put, Marius; Singer, Michael F. Teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales lineales . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 328 . Springer-Verlag, Berlín, 2003. xviii+438 pp. ISBN: 3-540-44228-6.

11. MR2106657 (2005i:68092) . Bronstein, Manuel. Integración simbólica. I. Funciones trascendentales . Segunda edición. Con un prólogo de B. F. Caviness. Algoritmos y computación en matemáticas, 1 . Springer-Verlag, Berlín, 2005. xvi+325 pp. ISBN: 3-540-21493-3.

12. Brian Conrad. Integración en términos elementales . Nota inédita. (2011?).

13. Moshe Kamensky. Teoría diferencial de Galois . "Una introducción a la teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales lineales".

El libro de Bronstein, en particular, es muy recomendable.

Answer 2

Software FriCAS:

http://fricas-wiki.math.uni.wroc.pl/FriCASIntegration

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...
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