¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 4 independientemente de cómo se permuten? (base 10)
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Un número escrito en base diez es un múltiplo de $4$ si y sólo si el número de dos dígitos formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de $4$ . Si estos dos dígitos son $ab$ en ese orden, claramente $b$ debe ser uniforme. No es difícil comprobar que si $b$ es un múltiplo de $4$ (es decir, $0,4$ o $8$ ), entonces el número de dos dígitos $ab$ es un múltiplo de $4$ si y sólo si $a$ es par, mientras que si $b\equiv2\pmod 4$ (es decir, $2$ o $6$ ), entonces $ab$ es un múltiplo de $4$ si y sólo si $a$ es impar.
Ahora suponga que tiene su número de cuatro dígitos $n$ cuyas permutaciones son todas múltiplos de $4$ . Claramente $n$ no puede contener un dígito impar, por lo que tampoco puede contener un dígito $2$ o $6$ . Concluimos que los cuatro dígitos deben ser múltiplos de $4$ es decir, debe ser $0,4$ o $8$ . Ahora cuenta los números de cuatro cifras que se pueden formar a partir de estas tres cifras, teniendo cuidado de excluir los ceros a la izquierda.
Greg Case
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Introduzcamos variables para los dígitos. Siempre es útil poder hablar de los objetos con los que se trata, y la forma más directa es darles nombre. Así, digamos que los dígitos que se utilizan son $a,b,c,d$ .
El número que en base $10$ se escribe como $abcd$ es realmente $1000a+100b+10c+d$ . Desde $1000$ y $100$ ya son múltiplos de $4$ este número será un múltiplo de $4$ precisamente cuando $10c+d$ es un múltiplo de $4$ . En particular, por supuesto, $d$ está en paz.
Pero te dicen que no importa cómo permutes los dígitos, el resultado vuelve a ser un múltiplo de $4$ . Así que, en particular, $abdc$ también es un múltiplo de $4$ . (¿Por qué he mirado este número en concreto? Bueno, ya sé que $10c+d$ es un múltiplo de $4$ También puedo tratar de aprender algo más sobre $c$ y $d$ antes de introducir las otras dos variables en la mezcla).
Bien, entonces $10d+c$ es un múltiplo de $4$ . Restando, vemos que $9(c-d)$ es un múltiplo de $4$ Así que $c-d$ es un múltiplo de $4$ .
Ahora, como lo mismo ocurre con todas las demás permutaciones, vemos que también $c-a,c-b,a-b$ son múltiplos de $4$ . Si uno de ellos es $2$ o $6$ (recuerde, deben ser pares), los otros también deben estar entre $2$ y $6$ . Pero $62$ no es un múltiplo de $4$ así que esto no puede ser.
Así que las únicas opciones que quedan son que $a,b,c,d$ se encuentran entre $0,4,8$ . Ahora vemos que todos los números posibles formados de esta manera funcionan, y el conteo debería ser fácil. (Es posible que desee volver a comprobar si algo como $0484$ es un número válido, ya que no es un entero de cuatro dígitos. Si no es así, $0$ no se puede utilizar, a menos que $a=b=c=d=0$ .)
MadHatter
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Podría estar equivocado; pero un número es divisible por 4 si y sólo si las 2 últimas cifras lo son. Por supuesto, hay 25 = 100/4 de estas combinaciones de 2 números. Entonces lo mismo se aplica a los dos primeros que podrían permutarse con los dos últimos y tenemos 25^2 = 625 de estos números. Si no aceptamos el 0 inicial, serían (88/4)*25 = 550 números o no muy lejos de ello. Más o menos. Las permutaciones entre los dígitos 1 y 2 y entre el 3 y el 4 no se cuentan.
