Aquí Pregunté sobre la caracterización de los mapas cerrados en términos de redes/secuencias. Este punto de vista me parece esclarecedor, por lo que quería preguntar sobre los mapas abiertos.
Un mapa $f: X \to Y$ está abierto si para cada $x \in X$ y $U$ barrio de $x$ hay un vecindario $V \ni f(x)$ tal que $V \subseteq F(U)$ .
Creo que deberíamos ser capaces de traducir esto en una declaración sobre las redes.
Caracterización alternativa propuesta:
Un mapa $f:X\rightarrow Y$ es Abrir si para cualquier $(x,y)\in f$ y la red $(y_\beta)$ en $Y$ con límite $y$ hay una red $(x_\alpha)$ en $X$ con límite $x$ y tal que $f\left(\{x_\alpha\}\right)\subseteq \{y_\beta\}$ .
En primer lugar, vamos a mostrar que esto es suficiente para demostrar que un mapa es abierto en el sentido habitual (llevando conjuntos abiertos a conjuntos abiertos). Supongamos que no lo es: entonces, a pesar de la hipótesis, hay un conjunto abierto $U\subseteq X$ tal que $f(U)$ no está abierto, es decir, hay algún $y \in f(U)$ tal que cada vecindad de $y$ contiene un punto que no está en $f(U)$ . Sea $x \in U$ sea tal que $f(x)=y$ y que $(y_\beta)$ sea una red en $Y$ indexado por las vecindades de $y$ (ordenado por inclusión), y tal que $y_\beta \in \beta \setminus f(U)$ para cada barrio $\beta$ . Es decir, $\{y_{\beta}\}$ y $f(U)$ son disjuntos. Es evidente que $(y_\beta)$ tiene límite $y$ ya que eventualmente se encuentra en $V$ para cualquier barrio $V$ de $y$ (en particular, $y_\beta \in \beta \subseteq V$ siempre que $\beta \ge V$ ). Pero para cualquier red $(x_\alpha)$ en $X$ tal que $f(\{x_\alpha\})\subseteq \{y_\beta\}$ los conjuntos $f(\{x_\alpha\})$ y $f(U)$ son disjuntos; por lo tanto $x_\alpha \not\in U$ para todos $\alpha$ y por lo tanto $(x_\alpha)$ no está en $U$ eventualmente (o nunca) y no puede tener límite $x$ . Esto es una contradicción, por lo que la hipótesis anterior es suficiente para establecer que $f$ está abierto.
Para demostrar que es necesario , supongamos que $f$ es un mapa abierto. Sea $(x,y)\in f$ y que $(y_\beta)$ sea una red en $Y$ con límite $y$ . Entonces $(y_\beta)$ es eventualmente en cada vecindad de $y$ . Porque $f$ está abierto, para cada barrio $U$ de $x$ hay un vecindario $V$ de $y$ tal que $V\subseteq f(U)$ Entonces $(y_\beta)$ es finalmente en $f(U)$ y, en particular, hay algunos $\beta(U)$ en el conjunto de índices de $(y_\beta)$ tal que $y_{\beta(U)} \in f(U)$ y, por lo tanto, algunos $x_U\in U$ satisface $f(x_U)=y_{\beta(U)}$ . Sea $(x_\alpha)$ sea una red en $X$ indexado por las vecindades de $x$ (ordenados por inclusión) tales que $x_\alpha\in \alpha$ y $f(x_{\alpha})=y_{\beta(\alpha)}$ para cada barrio $\alpha$ de $x$ . Para cada barrio $U$ de $x$ , $(x_\alpha)$ es finalmente en $U$ ya que $x_\alpha \in \alpha \subseteq U$ siempre que $\alpha \ge U$ . Concluimos que $(x_\alpha)$ tiene límite $x$ y como $f(\{x_\alpha\}) \subseteq \{ y_\beta \}$ también, esto completa la prueba.
Como hemos mostrado ambas implicaciones, hemos demostrado que la caracterización alternativa en términos de redes es equivalente a la habitual en términos de conjuntos abiertos y/o vecindades. $\;\square$
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