¿Cuántos triángulos rectos de lados enteros hay cuyos lados son combinaciones?

Question

Cómo muchos enteros de cara a la derecha triángulos existen cuyos lados son combinaciones de la forma $\displaystyle \binom{x}{2},\displaystyle \binom{y}{2},\displaystyle \binom{z}{2}$?

Intento:

Esta parece una pregunta difícil de contestar, ya que ni siquiera puedo pensar en un ejemplo para esto. Matemáticamente tenemos,

$$\left(\dfrac{x(x-1)}{2} \right)^2+\left (\dfrac{y(y-1)}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{z(z-1)}{2} \right)^2\tag1$$

donde tenemos que encontrar todos positiva entero de soluciones de $(x,y,z)$.

Me parece difícil de hacer. Pero aquí fue mi idea. Ya tenemos $x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2 = z^2(z-1)^2$, podemos tratar de hacer $x = y+1$. Si podemos demostrar que hay infinitamente muchas soluciones,

$$(y+1)^2y^2+y^2(y-1)^2 = z^2(z-1)^2\tag2$$

a continuación, hemos terminado.

Answer 1

Sugerencia: Comience de la otra manera alrededor , por la fórmula para generar todos los triples pitagóricos .

Answer 2

La solución de $(1)$$z$,,

$$z = \frac{1\pm\sqrt{1\pm4w}}{2}\tag3$$

donde,

$$w^2 = (x^2-x)^2+(y^2-y)^2\tag4$$

Ahora $(4)$ resulta ser birationally equivalente a una curva elíptica, y tiene infinitamente muchas entero de soluciones de $x,y$.

Sin embargo, el problema es que usted todavía tiene que resolver $(3)$. Me encuentro con un equipo de búsqueda que con $x<y<1000$, la única enteros se $x,y,z = 133,\,144,\,165$, por lo que,

$$\left(\dfrac{133(133-1)}{2} \right)^2+\left (\dfrac{144(144-1)}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{165(165-1)}{2} \right)^2$$

P. S. Si eres curioso acerca racional soluciones, entonces su $(1)$ $(2)$ tienen infinitamente muchos.